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Mathematik

Grundlegende Ableitungsregeln

Exponentialfunktionen

Mathe1.124Aktualisiert 12. Sept. 20264 Seiten

Funktionsgraphen fürs Abitur - Übersicht und Lernhilfe

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Mathematik wird erst richtig spannend, wenn du verstehst, wie sich verschiedene Funktionen verhalten und wie ihre Graphen aussehen. Diese Übersicht zeigt dir die wichtigsten Funktionstypen, die du für Klausuren und das Abitur brauchst.
Funktionsgraphen (Übersicht fürs Abitur) – Seite 1

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Grundlegende Funktionstypen

Lineare Funktionen kennst du schon: fxx = mx + b ergibt immer eine gerade Linie. Der Parameter m bestimmt die Steigung, b den y-Achsenabschnitt.

Quadratische Funktionen wie fxx = ax² + bx + c erzeugen die typischen Parabeln. Je nach Vorzeichen von a öffnen sie sich nach oben oder unten.

Bei Potenzfunktionen fxx = ax^n ist der Exponent entscheidend. Gerade Exponenten führen zu achsensymmetrischen Graphen, ungerade zu punktsymmetrischen. Mit negativen Exponenten entstehen Hyperbeln.

Merktipp: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie zur Ursprung!

Funktionsgraphen (Übersicht fürs Abitur) – Seite 2

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Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen fxx = a^x wachsen extrem schnell - perfekt für Wachstumsprozesse wie Bakterien oder Zinsen. Die e-Funktion fxx = e^x ist dabei besonders wichtig (e ≈ 2,718).

Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. Die natürliche Logarithmusfunktion lnxx ist die Umkehrung von e^x.

Konstante Funktionen sind die einfachsten: fxx = c ergibt eine waagerechte Linie, x = c eine senkrechte Linie.

Praxistipp: Exponential- und Logarithmusfunktionen begegnen dir überall - von Halbwertszeiten bis hin zu pH-Werten in Chemie!

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Wurzel- und trigonometrische Funktionen

Die Wurzelfunktion fxx = √x startet im Ursprung und steigt immer langsamer an. Sie ist nur für x ≥ 0 definiert.

Betragsfunktionen fxx = |x| erzeugen die charakteristische V-Form, da negative Werte positiv werden.

Trigonometrische Funktionen sind periodisch und super wichtig: Sinus und Cosinus schwingen zwischen -1 und 1, Tangens hat vertikale Asymptoten bei π/2 + nπ.

Achtung: Trigonometrische Funktionen arbeiten mit dem Bogenmaß (π, 2π usw.), nicht mit Grad!

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Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen haben die Form fxx = pxx/qxx - also einen Bruch aus zwei Polynomen. Sie sind überall dort spannend, wo der Nenner null wird.

Die einfachsten Beispiele sind fxx = 1/x und fxx = 1/x². Diese Hyperbeln haben Asymptoten an den Achsen.

Bei ungeradem Exponent im Nenner verläuft die Hyperbel durch den ersten und dritten Quadranten, bei geradem nur durch den ersten und zweiten.

Klausurtipp: Suche immer zuerst die Nullstellen des Nenners - dort sind die senkrechten Asymptoten!

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