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Funktionsscharen
1.3.2021
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FUNKTIONSSCHAREN Funktionsscharen Sind Funktionen, die zusätzlich zu der variablen (meist ens x) noch einen Parameter enthalten, welcher verschiedene Werte annehmen kann, wodurch verschiedene Funktionen entstehen. Bsp: f(x) = ax³ + ax +4 f(x)=²x-5 f(x) = kx-k³x³ + kx Untersuchen von Funktionsscharen → normales Vorgehen → man erhält meistens nullstellen, Extremstellen, wende stellen ect.; die vom Parameter abhängig Sind →wichtig: Fallunterscheidung: Wenn es für a kene Einschränkung gibt loder „nur“: a ±0). ist es oft nötig zu unterscheiden zwischen positiven und negativen Werten für den Parameter für a>0 (oder a ER+). keine Fallunterscheidung, da a nur positiv sein kann. für a#0 - Fallunterscheidung, da a positiv und negativ sein kann. Beispiel für eine kurven diskussion einer Funktionsschar · f(x) = x² + ax² nullstellen: fa(x)=0 x₁ = 0 Extrempunkte: 0 = x²³ +0x² 0 = x²(x + a) f(x) = 3x² + 2ax f(x) = 6x +2a fa" (x) = 6 für aso f(x) = 2a >0 ↳ Tiefpunkt als Parameter wird oft a oder k genutzt f(x)=0 X=1=0 Xen und XE in tài (x) X₁ f(x) = 6x + 2a = 6.0+2a = 2a 0 = 3x² + 2ax 1:3 0 + x² + ²ax 1.0 = x (x + ²/3 a) Fallunter- scheidung x + a=0 1-a. x₂ = -a für aco f(x)=-Za <o L> Hoch punkt XEIR; a EIR und a #0 FO XE2 = 1-²3a za : XE₂ f(x) = 6x + 2a Der Parameter wird wie eine normale Zahl und nicht wie eine Variable behandelt = 6. ( - ²3/a)+2a = -1/3a+2a = -4a+2a =-2...
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Alternativer Bildtext:
a a>o f(x)=-Za <o L> Hoch punkt aco f(x) = 2a >0 ↳ Tiefpunkt XEn und X₂ in falx) Xem fa(x) = x3 tax = 0³ +9.0² =O für aso ↳ Tiefpunkt be T (010). Wendepunkte: "(x)=0 fa(x) = x²³ +a+² für aco X 0 = 6x +2a 1-2a 1:6 x in f(x) · fő (x) = 6 >0 → Rechts- Links - Wendepunkt. x in fa(x). = (-a)² + a-(-a) ² === ² + + a² L> Hochpunkt be. H(010) = 2720²8 → Wendepunkt bei (-a | Za²) umstellen nach Parameter · Beispiel: f(x) = x³ + ax² XE - a 1-(-3) a = Ye= y = ORTSKURVE Eine Ortskurve ist eine Funktion durch Punkte des Graphen f mit einer besonderen Eigenschaft" (2.Bsp. Extrempunkte, Wendepunkte) 13/3/2 allgemeine Vorgehensweise: Extremstellen umstellen nach Parameter und einsetzen in y-Werte der Extrempunkte X a³ = 4( - ² x)³ - *- (- * *³) Xez ifa (x) einsetzen x³ +ax². = (¯ ¾ ª) ² + 0·(² •) ² = 27 8 a³ + =+_4³ +a für aso für aso 4 Tiefpunkt be (-3a/2a³). ↳ Hochpunkt be (-30/21429²³) Ausnahme! Da a 0 L) X *0 9³ Ortskurve der Hoch-/ und Tiefpunkte