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Jette
19.12.2025
Mathe
Funktionsuntersuchung Lernzettel Q1
154
•
19. Dez. 2025
•
Jette
@jette.sophiee
Extrempunkte, Wendepunkte und Funktionsanalyse sind zentrale Themen in der Analysis,... Mehr anzeigen
Du kannst Extrempunkte ganz systematisch bestimmen - das ist einfacher als es aussieht! Zuerst bildest du die erste Ableitung und setzt sie gleich null (notwendige Bedingung). Das gibt dir alle möglichen Stellen, wo Hoch- oder Tiefpunkte liegen könnten.
Um herauszufinden, ob es wirklich ein Extrempunkt ist, nutzt du das Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung. Bei der zweiten Ableitung gilt: Ist sie negativ, hast du einen Hochpunkt. Ist sie positiv, hast du einen Tiefpunkt.
Merktipp: f''(x) < 0 = Hochpunkt (wie ein trauriger Smiley), f''(x) > 0 = Tiefpunkt (wie ein fröhlicher Smiley)
Das Vorzeichenwechsel-Verfahren funktioniert genauso gut: Wechselt f'(x) von plus zu minus, ist es ein Hochpunkt. Von minus zu plus bedeutet Tiefpunkt.
Wendepunkte sind Stellen, wo der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve wechselt (oder umgekehrt). Du findest sie, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt - das ist die notwendige Bedingung.
Für die hinreichende Bedingung prüfst du entweder den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung oder berechnest die dritte Ableitung. Ist f'''(xw) ≠ 0, dann hast du definitiv einen Wendepunkt gefunden.
Visualisierung: Stelle dir vor, du fährst Auto - am Wendepunkt wechselst du von einer Rechtskurve in eine Linkskurve!
Die y-Koordinate des Wendepunkts berechnest du, indem du die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzt. So erhältst du den kompletten Wendepunkt mit beiden Koordinaten.
Das Krümmungsverhalten einer Funktion erkennst du am Vorzeichen der zweiten Ableitung. Ist f''(x) > 0, ist der Graph rechtsgekrümmt (wie eine Schale). Bei f''(x) < 0 ist er linksgekrümmt (wie ein umgedrehter Berg).
Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten - hier ist f''(x) = 0. Du berechnest die y-Koordinate, indem du die x-Koordinate der Wendestelle in die ursprüngliche Funktion einsetzt.
Praxistipp: Zeichne dir kleine Pfeile für das Krümmungsverhalten - das macht die Vorstellung viel einfacher!
Das Krümmungsverhalten hilft dir dabei, den Funktionsgraph genau zu skizzieren und alle wichtigen Eigenschaften zu erkennen.
Die Wendetangente ist die Tangente an den Wendepunkt - sie zeigt die Steigung des Graphen genau an dieser besonderen Stelle. Für die Tangentengleichung t(x) = mx + b brauchst du Steigung m und y-Achsenabschnitt b.
Die Steigung erhältst du, indem du die x-Koordinate des Wendepunkts in die erste Ableitung f'(x) einsetzt. Den y-Achsenabschnitt b berechnest du mit der Punkt-Steigung-Form der Geradengleichung.
Formel-Check: Wendetangente t(x) = f'(xw) · x + b, wobei b aus dem Wendepunkt berechnet wird.
Mit der fertigen Wendetangente kannst du das Verhalten der Funktion am Wendepunkt noch besser verstehen und visualisieren.
Achsensymmetrie liegt vor, wenn f = f(x) gilt - der Graph ist zur y-Achse gespiegelt. Das passiert bei geraden Exponenten wie x², x⁴, x⁶. Diese Funktionen haben immer die gleichen y-Werte für x und -x.
Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du an f = -f(x). Das tritt bei ungeraden Exponenten auf wie x, x³, x⁵. Hier sind die y-Werte für x und -x entgegengesetzt.
Symmetrie-Test: Setze einfach -x in die Funktion ein und schaue, was rauskommt!
Symmetrie hilft dir beim Zeichnen von Funktionsgraphen enorm - du musst nur eine Seite berechnen und kannst die andere spiegeln. Das spart Zeit und Arbeit in Klausuren.
Das Globalverhalten einer Funktion wird durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Alle anderen Terme werden für sehr große x-Werte vernachlässigbar klein und spielen keine Rolle mehr.
Bei geradem Exponenten mit positivem Koeffizienten geht die Funktion sowohl für x → ∞ als auch x → -∞ gegen unendlich. Bei negativem Koeffizienten geht sie in beide Richtungen gegen minus unendlich.
Regel: Gerader Exponent = beide Äste gleich, ungerader Exponent = Äste entgegengesetzt!
Bei ungeradem Exponenten mit positivem Koeffizienten geht die Funktion für x → ∞ gegen +∞ und für x → -∞ gegen -∞. Bei negativem Koeffizienten ist es umgekehrt.
Die Ableitungsfunktion f' verrät dir alles über das Verhalten der ursprünglichen Funktion f. Wo f' eine Nullstelle hat, liegt bei f ein möglicher Extrempunkt. Wo f' einen Extrempunkt hat, findet sich bei f ein Wendepunkt.
Vorzeichenwechsel bei f' zeigen dir die Art des Extrempunkts: Von + nach - bedeutet Hochpunkt, von - nach + bedeutet Tiefpunkt. Eine Sattelstelle liegt vor, wenn du einen Wendepunkt mit Steigung null hast.
Eselsbrücke: f' = "Steigungsdetektor" - zeigt dir alle wichtigen Stellen von f!
Dieser Zusammenhang ist extrem wichtig für die Kurvendiskussion. Wenn du f' richtig interpretieren kannst, verstehst du automatisch das komplette Verhalten von f.
Funktionsscharen enthalten neben der Variable x noch einen Parameter (oft a, t oder v). Jeder Parameterwert ergibt eine andere Funktion derselben Familie - wie verschiedene Mitglieder einer Funktionsfamilie.
Beim Ableiten und Berechnen von Extrempunkten behandelst du den Parameter wie eine Konstante. Er bleibt in deinen Ergebnissen stehen und macht deine Lösungen allgemeingültig für alle Parameterwerte.
Parameter-Regel: Der Parameter bleibt immer erhalten - nie wegkürzen oder eliminieren!
Funktionsscharen beschreiben oft reale Situationen wie Wurfparabeln mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Der Parameter hat dann eine konkrete Bedeutung, die du interpretieren solltest.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
Szenen Zusammenfassung
DeutschApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Jette
@jette.sophiee
Extrempunkte, Wendepunkte und Funktionsanalyse sind zentrale Themen in der Analysis, die dir helfen, Funktionen vollständig zu verstehen. Mit den richtigen Methoden und etwas Übung wirst du schnell lernen, wie du Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und das Verhalten von Funktionen systematisch... Mehr anzeigen
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Du kannst Extrempunkte ganz systematisch bestimmen - das ist einfacher als es aussieht! Zuerst bildest du die erste Ableitung und setzt sie gleich null (notwendige Bedingung). Das gibt dir alle möglichen Stellen, wo Hoch- oder Tiefpunkte liegen könnten.
Um herauszufinden, ob es wirklich ein Extrempunkt ist, nutzt du das Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung. Bei der zweiten Ableitung gilt: Ist sie negativ, hast du einen Hochpunkt. Ist sie positiv, hast du einen Tiefpunkt.
Merktipp: f''(x) < 0 = Hochpunkt (wie ein trauriger Smiley), f''(x) > 0 = Tiefpunkt (wie ein fröhlicher Smiley)
Das Vorzeichenwechsel-Verfahren funktioniert genauso gut: Wechselt f'(x) von plus zu minus, ist es ein Hochpunkt. Von minus zu plus bedeutet Tiefpunkt.
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Wendepunkte sind Stellen, wo der Graph von einer Rechts- in eine Linkskurve wechselt (oder umgekehrt). Du findest sie, indem du die zweite Ableitung gleich null setzt - das ist die notwendige Bedingung.
Für die hinreichende Bedingung prüfst du entweder den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung oder berechnest die dritte Ableitung. Ist f'''(xw) ≠ 0, dann hast du definitiv einen Wendepunkt gefunden.
Visualisierung: Stelle dir vor, du fährst Auto - am Wendepunkt wechselst du von einer Rechtskurve in eine Linkskurve!
Die y-Koordinate des Wendepunkts berechnest du, indem du die x-Koordinate in die ursprüngliche Funktion f(x) einsetzt. So erhältst du den kompletten Wendepunkt mit beiden Koordinaten.
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Das Krümmungsverhalten einer Funktion erkennst du am Vorzeichen der zweiten Ableitung. Ist f''(x) > 0, ist der Graph rechtsgekrümmt (wie eine Schale). Bei f''(x) < 0 ist er linksgekrümmt (wie ein umgedrehter Berg).
Am Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten - hier ist f''(x) = 0. Du berechnest die y-Koordinate, indem du die x-Koordinate der Wendestelle in die ursprüngliche Funktion einsetzt.
Praxistipp: Zeichne dir kleine Pfeile für das Krümmungsverhalten - das macht die Vorstellung viel einfacher!
Das Krümmungsverhalten hilft dir dabei, den Funktionsgraph genau zu skizzieren und alle wichtigen Eigenschaften zu erkennen.
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Die Wendetangente ist die Tangente an den Wendepunkt - sie zeigt die Steigung des Graphen genau an dieser besonderen Stelle. Für die Tangentengleichung t(x) = mx + b brauchst du Steigung m und y-Achsenabschnitt b.
Die Steigung erhältst du, indem du die x-Koordinate des Wendepunkts in die erste Ableitung f'(x) einsetzt. Den y-Achsenabschnitt b berechnest du mit der Punkt-Steigung-Form der Geradengleichung.
Formel-Check: Wendetangente t(x) = f'(xw) · x + b, wobei b aus dem Wendepunkt berechnet wird.
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Achsensymmetrie liegt vor, wenn f = f(x) gilt - der Graph ist zur y-Achse gespiegelt. Das passiert bei geraden Exponenten wie x², x⁴, x⁶. Diese Funktionen haben immer die gleichen y-Werte für x und -x.
Punktsymmetrie zum Ursprung erkennst du an f = -f(x). Das tritt bei ungeraden Exponenten auf wie x, x³, x⁵. Hier sind die y-Werte für x und -x entgegengesetzt.
Symmetrie-Test: Setze einfach -x in die Funktion ein und schaue, was rauskommt!
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Das Globalverhalten einer Funktion wird durch den Term mit der höchsten Potenz bestimmt. Alle anderen Terme werden für sehr große x-Werte vernachlässigbar klein und spielen keine Rolle mehr.
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Regel: Gerader Exponent = beide Äste gleich, ungerader Exponent = Äste entgegengesetzt!
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Die Ableitungsfunktion f' verrät dir alles über das Verhalten der ursprünglichen Funktion f. Wo f' eine Nullstelle hat, liegt bei f ein möglicher Extrempunkt. Wo f' einen Extrempunkt hat, findet sich bei f ein Wendepunkt.
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Funktionsscharen enthalten neben der Variable x noch einen Parameter (oft a, t oder v). Jeder Parameterwert ergibt eine andere Funktion derselben Familie - wie verschiedene Mitglieder einer Funktionsfamilie.
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Funktionsscharen beschreiben oft reale Situationen wie Wurfparabeln mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Der Parameter hat dann eine konkrete Bedeutung, die du interpretieren solltest.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
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Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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