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Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

Mathe1.565Aktualisiert 15. Sept. 20264 Seiten

Ganzrationale Funktionen: Einführung und Anwendungen

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Katharina181@k.181
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Ganzrationale Funktionen sind Polynome, die dir ständig in der Oberstufe begegnen werden - von einfachen Parabeln bis zu komplexen Funktionen höherer Grade. Du lernst hier, wie du ihre Form erkennst, sie transformierst und ihre Nullstellen findest.
Ganzrationale Funktionen – Seite 1

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Grundlagen ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form fxx = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Der Grad entspricht dem höchsten Exponenten, und das absolute Glied a₀ ist der Wert ohne x.

Das Verhalten im Unendlichen hängt nur vom höchsten Exponenten ab. Bei positivem Leitkoeffizienten und geradem Grad geht die Funktion nach beiden Seiten nach oben. Bei ungeradem Grad geht sie links runter und rechts hoch.

Die Symmetrie erkennst du an den Exponenten: nur gerade = achsensymmetrisch, nur ungerade = punktsymmetrisch, gemischt = keine Symmetrie.

💡 Merktipp: Der y-Achsenabschnitt ist immer das absolute Glied a₀!

Ganzrationale Funktionen – Seite 2

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Transformationen von Funktionen

Verschiebungen funktionieren mit gxx = fx−cx - c + d. Dabei verschiebt c horizontal (Achtung: Vorzeichen umgekehrt!) und d vertikal. Ein Spiegeln an der x-Achse erreichst du mit gxx = -fxx.

Strecken in y-Richtung mit gxx = k·fxx verändert die Höhe aller Punkte um den Faktor k. Die Nullstellen bleiben gleich, aber Hoch- und Tiefpunkte wandern.

Strecken in x-Richtung mit gxx = f(k·x) ist trickreich: Der Graph wird um den Faktor 1/k gestreckt - also genau umgekehrt!

💡 Praxistipp: Transformationen immer Schritt für Schritt durchgehen - erst verschieben, dann strecken, dann spiegeln.

Ganzrationale Funktionen – Seite 3

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Nullstellen finden - Teil 1

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Es gibt drei Hauptmethoden, um sie zu finden.

Bei der Linearfaktorzerlegung liest du die Nullstellen direkt ab: fxx = -0,5x - 3$$x - 1²x+2x + 2 hat die Nullstellen 3, 1 (doppelt) und -2. Das Vorzeichen in der Klammer ist umgekehrt zur Nullstelle!

Ausklammern hilft, wenn alle Terme einen gemeinsamen Faktor haben. Aus fxx = x³ - 2x² + x wird xx2−2x+1x² - 2x + 1, und du kannst die pq-Formel anwenden.

💡 Wichtig: Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph die x-Achse nur berührt, aber nicht durchstößt.

Ganzrationale Funktionen – Seite 4

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Nullstellen finden - Teil 2

Die Substitution rettet dich bei komplizierten Exponenten. Sie funktioniert, wenn der größte Exponent doppelt so groß ist wie der zweitgrößte.

Bei fxx = x⁴ - 7x² + 12 setzt du z = x² ein. Dann wird daraus z² - 7z + 12 = 0 - eine normale quadratische Gleichung!

Nach der pq-Formel erhältst du z₁ = 4 und z₂ = 3. Jetzt die Resubstitution: x² = 4 ergibt x = ±2, und x² = 3 ergibt x = ±√3.

💡 Kontrolltipp: Setze deine gefundenen Nullstellen immer in die ursprüngliche Funktion ein - so vermeidest du Rechenfehler!

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