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18. Jan. 2026

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Ganzrationale Funktionen: Einführung und Anwendungen

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Katharina181

@k.181

Ganzrationale Funktionen sind Polynome, die dir ständig in der Oberstufe... Mehr anzeigen

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# -GANZBATIONALE FUNKTIONEN-

Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung man in der Form
f(x)=ax^+ an- X^^^ + ax + ao schreiben kann, heißt g

Grundlagen ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Der Grad entspricht dem höchsten Exponenten, und das absolute Glied a₀ ist der Wert ohne x.

Das Verhalten im Unendlichen hängt nur vom höchsten Exponenten ab. Bei positivem Leitkoeffizienten und geradem Grad geht die Funktion nach beiden Seiten nach oben. Bei ungeradem Grad geht sie links runter und rechts hoch.

Die Symmetrie erkennst du an den Exponenten: nur gerade = achsensymmetrisch, nur ungerade = punktsymmetrisch, gemischt = keine Symmetrie.

💡 Merktipp: Der y-Achsenabschnitt ist immer das absolute Glied a₀!

# -GANZBATIONALE FUNKTIONEN-

Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung man in der Form
f(x)=ax^+ an- X^^^ + ax + ao schreiben kann, heißt g

Transformationen von Funktionen

Verschiebungen funktionieren mit g(x) = fxcx - c + d. Dabei verschiebt c horizontal (Achtung: Vorzeichen umgekehrt!) und d vertikal. Ein Spiegeln an der x-Achse erreichst du mit g(x) = -f(x).

Strecken in y-Richtung mit g(x) = k·f(x) verändert die Höhe aller Punkte um den Faktor k. Die Nullstellen bleiben gleich, aber Hoch- und Tiefpunkte wandern.

Strecken in x-Richtung mit g(x) = f(k·x) ist trickreich: Der Graph wird um den Faktor 1/k gestreckt - also genau umgekehrt!

💡 Praxistipp: Transformationen immer Schritt für Schritt durchgehen - erst verschieben, dann strecken, dann spiegeln.

# -GANZBATIONALE FUNKTIONEN-

Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung man in der Form
f(x)=ax^+ an- X^^^ + ax + ao schreiben kann, heißt g

Nullstellen finden - Teil 1

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Es gibt drei Hauptmethoden, um sie zu finden.

Bei der Linearfaktorzerlegung liest du die Nullstellen direkt ab: f(x) = -0,5x3x - 3x1x - 1²x+2x + 2 hat die Nullstellen 3, 1 (doppelt) und -2. Das Vorzeichen in der Klammer ist umgekehrt zur Nullstelle!

Ausklammern hilft, wenn alle Terme einen gemeinsamen Faktor haben. Aus f(x) = x³ - 2x² + x wird xx22x+1x² - 2x + 1, und du kannst die pq-Formel anwenden.

💡 Wichtig: Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph die x-Achse nur berührt, aber nicht durchstößt.

# -GANZBATIONALE FUNKTIONEN-

Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung man in der Form
f(x)=ax^+ an- X^^^ + ax + ao schreiben kann, heißt g

Nullstellen finden - Teil 2

Die Substitution rettet dich bei komplizierten Exponenten. Sie funktioniert, wenn der größte Exponent doppelt so groß ist wie der zweitgrößte.

Bei f(x) = x⁴ - 7x² + 12 setzt du z = x² ein. Dann wird daraus z² - 7z + 12 = 0 - eine normale quadratische Gleichung!

Nach der pq-Formel erhältst du z₁ = 4 und z₂ = 3. Jetzt die Resubstitution: x² = 4 ergibt x = ±2, und x² = 3 ergibt x = ±√3.

💡 Kontrolltipp: Setze deine gefundenen Nullstellen immer in die ursprüngliche Funktion ein - so vermeidest du Rechenfehler!



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Mathe

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Ganzrationale Funktionen: Einführung und Anwendungen

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Katharina181

@k.181

Ganzrationale Funktionen sind Polynome, die dir ständig in der Oberstufe begegnen werden - von einfachen Parabeln bis zu komplexen Funktionen höherer Grade. Du lernst hier, wie du ihre Form erkennst, sie transformierst und ihre Nullstellen findest.

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Grundlagen ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀. Der Grad entspricht dem höchsten Exponenten, und das absolute Glied a₀ ist der Wert ohne x.

Das Verhalten im Unendlichen hängt nur vom höchsten Exponenten ab. Bei positivem Leitkoeffizienten und geradem Grad geht die Funktion nach beiden Seiten nach oben. Bei ungeradem Grad geht sie links runter und rechts hoch.

Die Symmetrie erkennst du an den Exponenten: nur gerade = achsensymmetrisch, nur ungerade = punktsymmetrisch, gemischt = keine Symmetrie.

💡 Merktipp: Der y-Achsenabschnitt ist immer das absolute Glied a₀!

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Transformationen von Funktionen

Verschiebungen funktionieren mit g(x) = fxcx - c + d. Dabei verschiebt c horizontal (Achtung: Vorzeichen umgekehrt!) und d vertikal. Ein Spiegeln an der x-Achse erreichst du mit g(x) = -f(x).

Strecken in y-Richtung mit g(x) = k·f(x) verändert die Höhe aller Punkte um den Faktor k. Die Nullstellen bleiben gleich, aber Hoch- und Tiefpunkte wandern.

Strecken in x-Richtung mit g(x) = f(k·x) ist trickreich: Der Graph wird um den Faktor 1/k gestreckt - also genau umgekehrt!

💡 Praxistipp: Transformationen immer Schritt für Schritt durchgehen - erst verschieben, dann strecken, dann spiegeln.

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Nullstellen finden - Teil 1

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Es gibt drei Hauptmethoden, um sie zu finden.

Bei der Linearfaktorzerlegung liest du die Nullstellen direkt ab: f(x) = -0,5x3x - 3x1x - 1²x+2x + 2 hat die Nullstellen 3, 1 (doppelt) und -2. Das Vorzeichen in der Klammer ist umgekehrt zur Nullstelle!

Ausklammern hilft, wenn alle Terme einen gemeinsamen Faktor haben. Aus f(x) = x³ - 2x² + x wird xx22x+1x² - 2x + 1, und du kannst die pq-Formel anwenden.

💡 Wichtig: Doppelte Nullstellen bedeuten, dass der Graph die x-Achse nur berührt, aber nicht durchstößt.

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Nullstellen finden - Teil 2

Die Substitution rettet dich bei komplizierten Exponenten. Sie funktioniert, wenn der größte Exponent doppelt so groß ist wie der zweitgrößte.

Bei f(x) = x⁴ - 7x² + 12 setzt du z = x² ein. Dann wird daraus z² - 7z + 12 = 0 - eine normale quadratische Gleichung!

Nach der pq-Formel erhältst du z₁ = 4 und z₂ = 3. Jetzt die Resubstitution: x² = 4 ergibt x = ±2, und x² = 3 ergibt x = ±√3.

💡 Kontrolltipp: Setze deine gefundenen Nullstellen immer in die ursprüngliche Funktion ein - so vermeidest du Rechenfehler!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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DIE QUIZZES UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT NUR SCHLAUER!! HAT MIR SOGAR BEI MEINEN MASCARA PROBLEMEN GEHOLFEN!! GENAUSO WIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! OFFENSICHTLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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