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Ganzrationale Funktionen und Potenzen - Vorbereitung auf die 2. Mathe Klausur (EF)

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Malin’s Head

14.11.2025

Mathe

Ganzrationale Funktionen, Potenzen, usw.

Mathematik

Rationale und Wurzelausdrücke

Exponentialausdrücke

2.255

•

14. Nov. 2025

•

2 Seiten

Ganzrationale Funktionen und Potenzen - Vorbereitung auf die 2. Mathe Klausur (EF)

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Malin’s Head

@malinka_therasberry

Willkommen zu den wichtigsten Grundlagen der Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen!... Mehr anzeigen

Potenzgesetze X Basis unterschiedlicher Exponent, gleiche Basis mth =a a: a = a (am)n = am.n m-n = · ^√/am² = (^√₁)" ambm= abm/(a.b)m gleich

Potenzgesetze und Funktionseigenschaften

Potenzgesetze bilden die Grundlage für viele mathematische Operationen. Die wichtigsten Regeln sind:

  • Multiplikation: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} (gleiche Basis, Exponenten addieren)
  • Division: am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n} (gleiche Basis, Exponenten subtrahieren)
  • Potenz von Potenz: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n} (Exponenten multiplizieren)
  • Spezialfälle: a0=1a^0 = 1 und a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

Bei Potenzfunktionen hängt das Verhalten stark vom Exponenten ab. Bei geraden positiven Exponenten wie $x^2$ erhältst du eine zur y-Achse symmetrische Kurve, die für x→±∞x \to \pm\infty gegen ∞\infty strebt. Bei ungeraden Exponenten wie $x^3$ entsteht eine punktsymmetrische Kurve zum Ursprung.

💡 Merke dir: Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist immer R\mathbb{R} (alle reellen Zahlen), während bei Bruchfunktionen wie f(x)=5xf(x) = \frac{5}{x} die Stellen ausgeschlossen sind, an denen der Nenner Null wird.

Die Zahlenbereiche solltest du gut kennen:

  • Natürliche Zahlen N\mathbb{N}: abzählbare positive Zahlen
  • Ganze Zahlen Z\mathbb{Z}: positive und negative ganze Zahlen
  • Rationale Zahlen Q\mathbb{Q}: Brüche und periodische Dezimalzahlen
  • Reelle Zahlen R\mathbb{R}: umfassen rationale und irrationale Zahlen

Intervalle werden unterschiedlich notiert: Eckige Klammern a,ba,b bedeuten, dass die Grenzen zum Intervall gehören (abgeschlossenes Intervall), runde Klammern (a,b) zeigen an, dass die Grenzen nicht enthalten sind (offenes Intervall).

Potenzgesetze X Basis unterschiedlicher Exponent, gleiche Basis mth =a a: a = a (am)n = am.n m-n = · ^√/am² = (^√₁)" ambm= abm/(a.b)m gleich

Symmetrie und Verhalten ganzrationaler Funktionen

Symmetrie ist ein wichtiges Merkmal, um Funktionen zu analysieren und zu vereinfachen. Du erkennst sie so:

  • Achsensymmetrisch zur y-Achse: f(x)=f(−x)f(x) = f(-x) - kommt bei geraden Exponenten vor
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung: f(x)=−f(−x)f(x) = -f(-x) - typisch für ungerade Exponenten

Beispiele: f(x)=0,25x4−2x2f(x)=0,25x^4-2x^2 ist achsensymmetrisch (nur gerade Exponenten), während f(x)=−x3+3xf(x)=-x^3+3x punktsymmetrisch ist (nur ungerade Exponenten).

Der Globalverlauf einer ganzrationalen Funktion f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 wird durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt:

  • Für x→±∞x \to \pm\infty verhält sich die Funktion wie anxna_nx^n
  • In der Nähe von x=0x=0 ist das Verhalten durch den kleinsten positiven Exponenten geprägt

🔑 Wichtig für Klausuren: Bei der Berechnung von Nullstellen hilft oft das Ausklammern oder die Substitution. Bei f(x)=x4−5x2+4f(x)=x^4-5x^2+4 kannst du mit der Substitution z=x2z=x^2 eine quadratische Gleichung lösen!

Bei Transformationen von Funktionen gilt allgemein g(x)=a⋅f(x−d)+eg(x)=a \cdot f(x-d)+e, wobei:

  • Der Faktor aa bewirkt eine Streckung ($|a|>1$) oder Stauchung ($0<|a|<1$)
  • Bei a<0a<0 wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt
  • dd verschiebt die Funktion horizontal (nach rechts für $d>0$, nach links für $d<0$)
  • ee verschiebt die Funktion vertikal (nach oben für $e>0$, nach unten für $e<0$)

Das Verständnis dieser Transformationen hilft dir, komplexe Funktionen schneller zu zeichnen und zu interpretieren, ohne jedes Mal alle Punkte neu berechnen zu müssen.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Mathematik

Rationale und Wurzelausdrücke

Exponentialausdrücke

 

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•

2.255

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14. Nov. 2025

•

2 Seiten

Ganzrationale Funktionen und Potenzen - Vorbereitung auf die 2. Mathe Klausur (EF)

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Malin’s Head

@malinka_therasberry

Willkommen zu den wichtigsten Grundlagen der Potenzfunktionen und ganzrationalen Funktionen! In dieser Zusammenfassung lernst du die wesentlichen Regeln, Eigenschaften und Verhaltensweisen dieser Funktionen kennen. Das Verständnis dieser Konzepte ist entscheidend für viele Bereiche der Mathematik.

Potenzgesetze X Basis unterschiedlicher Exponent, gleiche Basis mth =a a: a = a (am)n = am.n m-n = · ^√/am² = (^√₁)" ambm= abm/(a.b)m gleich

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

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Potenzgesetze und Funktionseigenschaften

Potenzgesetze bilden die Grundlage für viele mathematische Operationen. Die wichtigsten Regeln sind:

  • Multiplikation: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} (gleiche Basis, Exponenten addieren)
  • Division: am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n} (gleiche Basis, Exponenten subtrahieren)
  • Potenz von Potenz: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n} (Exponenten multiplizieren)
  • Spezialfälle: a0=1a^0 = 1 und a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

Bei Potenzfunktionen hängt das Verhalten stark vom Exponenten ab. Bei geraden positiven Exponenten wie $x^2$ erhältst du eine zur y-Achse symmetrische Kurve, die für x→±∞x \to \pm\infty gegen ∞\infty strebt. Bei ungeraden Exponenten wie $x^3$ entsteht eine punktsymmetrische Kurve zum Ursprung.

💡 Merke dir: Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist immer R\mathbb{R} (alle reellen Zahlen), während bei Bruchfunktionen wie f(x)=5xf(x) = \frac{5}{x} die Stellen ausgeschlossen sind, an denen der Nenner Null wird.

Die Zahlenbereiche solltest du gut kennen:

  • Natürliche Zahlen N\mathbb{N}: abzählbare positive Zahlen
  • Ganze Zahlen Z\mathbb{Z}: positive und negative ganze Zahlen
  • Rationale Zahlen Q\mathbb{Q}: Brüche und periodische Dezimalzahlen
  • Reelle Zahlen R\mathbb{R}: umfassen rationale und irrationale Zahlen

Intervalle werden unterschiedlich notiert: Eckige Klammern a,ba,b bedeuten, dass die Grenzen zum Intervall gehören (abgeschlossenes Intervall), runde Klammern (a,b) zeigen an, dass die Grenzen nicht enthalten sind (offenes Intervall).

Potenzgesetze X Basis unterschiedlicher Exponent, gleiche Basis mth =a a: a = a (am)n = am.n m-n = · ^√/am² = (^√₁)" ambm= abm/(a.b)m gleich

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Symmetrie und Verhalten ganzrationaler Funktionen

Symmetrie ist ein wichtiges Merkmal, um Funktionen zu analysieren und zu vereinfachen. Du erkennst sie so:

  • Achsensymmetrisch zur y-Achse: f(x)=f(−x)f(x) = f(-x) - kommt bei geraden Exponenten vor
  • Punktsymmetrisch zum Ursprung: f(x)=−f(−x)f(x) = -f(-x) - typisch für ungerade Exponenten

Beispiele: f(x)=0,25x4−2x2f(x)=0,25x^4-2x^2 ist achsensymmetrisch (nur gerade Exponenten), während f(x)=−x3+3xf(x)=-x^3+3x punktsymmetrisch ist (nur ungerade Exponenten).

Der Globalverlauf einer ganzrationalen Funktion f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 wird durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt:

  • Für x→±∞x \to \pm\infty verhält sich die Funktion wie anxna_nx^n
  • In der Nähe von x=0x=0 ist das Verhalten durch den kleinsten positiven Exponenten geprägt

🔑 Wichtig für Klausuren: Bei der Berechnung von Nullstellen hilft oft das Ausklammern oder die Substitution. Bei f(x)=x4−5x2+4f(x)=x^4-5x^2+4 kannst du mit der Substitution z=x2z=x^2 eine quadratische Gleichung lösen!

Bei Transformationen von Funktionen gilt allgemein g(x)=a⋅f(x−d)+eg(x)=a \cdot f(x-d)+e, wobei:

  • Der Faktor aa bewirkt eine Streckung ($|a|>1$) oder Stauchung ($0<|a|<1$)
  • Bei a<0a<0 wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt
  • dd verschiebt die Funktion horizontal (nach rechts für $d>0$, nach links für $d<0$)
  • ee verschiebt die Funktion vertikal (nach oben für $e>0$, nach unten für $e<0$)

Das Verständnis dieser Transformationen hilft dir, komplexe Funktionen schneller zu zeichnen und zu interpretieren, ohne jedes Mal alle Punkte neu berechnen zu müssen.

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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