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Mathematik

Lagebeziehungen von Geraden

Kollinear

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5. Feb. 2026

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Geometrie und Vektoren Klausurvorbereitung

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Alina

@alinairinaa

Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil der analytischen Geometrie und kommt... Mehr anzeigen

Klausur I Betrag eines vektors $ \vec{a} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} $ Addit Absta -- Skalarmultiplikation (db)+d-bd-by- P(-41312) 0(91-

Grundlagen der Vektorrechnung

Vektorbetrag berechnen ist super einfach: Ihr nehmt alle Koordinaten, quadriert sie, addiert alles und zieht die Wurzel. Bei a⃗=(1 2 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} ist der Betrag also ∣a⃗∣=12+22+32=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

Beim Rechnen mit Vektoren könnt ihr addieren, subtrahieren und mit Zahlen multiplizieren - komponententweise versteht sich. Der Abstand zwischen zwei Punkten funktioniert wie der Vektorbetrag, nur dass ihr vorher die Koordinaten voneinander abzieht.

Kollinearität prüfen bedeutet checken, ob zwei Vektoren parallel sind. Das geht mit u⃗=t⋅v⃗\vec{u} = t \cdot \vec{v} - wenn ihr einen gemeinsamen Faktor t findet, sind sie kollinear. Bei Geradengleichungen braucht ihr einen Stützvektor und einen Richtungsvektor: g⃗=x⃗0+t⋅a⃗\vec{g} = \vec{x}_0 + t \cdot \vec{a}.

Tipp: Beim Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 sind die Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander)!

Das Skalarprodukt hilft euch bei Winkeln zwischen Vektoren. Die Formel cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} gibt euch den Winkel direkt.

Klausur I Betrag eines vektors $ \vec{a} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} $ Addit Absta -- Skalarmultiplikation (db)+d-bd-by- P(-41312) 0(91-

Ebenengleichungen aufstellen

Eine Ebenengleichung aus drei Punkten aufzustellen ist eigentlich nur ein Fünf-Schritte-Plan. Zuerst nehmt ihr einen Punkt als Stützvektor, dann berechnet ihr die zwei Spannvektoren zu den anderen Punkten.

Der wichtige dritte Schritt: Kollinearität prüfen! Die Spannvektoren dürfen nicht parallel sein, sonst habt ihr keine Ebene. Bei AB⃗=(1 2 1)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} und AC⃗=(1 1 1)\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} seht ihr sofort - kein gemeinsamer Faktor, also alles gut.

Die fertige Ebenengleichung sieht dann so aus: x⃗=(1 0 0)+r(1 2 1)+s(1 1 1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}. Die Parameter r und s könnt ihr frei wählen, um verschiedene Punkte der Ebene zu bekommen.

Merkhilfe: Eine Ebene braucht immer einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Spannvektoren!

Ebenen aus zwei Geraden funktioniert ähnlich - ihr nehmt den Stützvektor der einen Geraden und die beiden Richtungsvektoren als Spannvektoren.



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Vektoren und Kollinearität

Entdecken Sie die Konzepte von Richtungsvektoren, Ortsvektoren und Kollinearität. Diese Zusammenfassung behandelt die Punktprobe, die Symmetrieeigenschaften von Funktionen und die Berechnung von Extrem- und Wendepunkten. Ideal für Studierende der Mathematik, die ihre Kenntnisse in Vektoren und deren Anwendungen vertiefen möchten.

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Erfahren Sie, wie Sie die Kollinearität von Vektoren überprüfen können. Diese Zusammenfassung behandelt die Definition kollinearer Vektoren, Prüfmethoden und bietet zahlreiche Beispiele zur Veranschaulichung. Ideal für Studierende der Mathematik und Physik.

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Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren und Punkte im Raum. Diese Zusammenfassung behandelt die Parametergleichung einer Geraden, die Eigenschaften von Vektoren, die Berechnung von Abständen sowie die Konzepte der Kollinearität und Linearkombinationen. Ideal für Studierende der Geometrie und Mathematik.

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Diese Präsentation bietet eine umfassende Übersicht über Vektoren, Geraden und Ebenen auf Grundkursniveau. Sie behandelt wichtige Konzepte wie Skalarprodukt, Orthogonalität, Kollinearität, Geradengleichungen und Ebenengleichungen. Ideal für das Verständnis von räumlichen Beziehungen und geometrischen Eigenschaften. Enthält Merksätze, Regeln und Definitionen zur Unterstützung des Lernprozesses.

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Kollineare & Komplanare Vektoren

Diese Zusammenfassung behandelt die Konzepte der kollinearen und komplanaren Vektoren, einschließlich ihrer Definitionen und Bedingungen für die Kollinearität und Komplanarität. Anhand von Beispielen und Übungen aus dem Lehrbuch wird erklärt, wie Vektoren in einem 3D-Koordinatensystem analysiert werden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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Vektoren: Geometrische Beziehungen

Entdecken Sie die Grundlagen der Vektoren in der Geometrie. Diese Zusammenfassung behandelt die Punktprobe, die Orthogonalität von Vektoren, die Kollinearität, die Aufstellung von Geraden und die Berechnung von Winkeln zwischen Schnittgeraden. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der räumlichen Positionierung vertiefen möchten.

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Entdecken Sie die Grundlagen der allgemeinen Geradengleichung im Raum, einschließlich der Punktprobe und der verschiedenen Lagebeziehungen von Geraden wie Parallelität, Identität und Windschiefheit. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und Beispiele zur Kollinearität und zur Bestimmung von Schnittpunkten. Ideal für Studierende der Mathematik.

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Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

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Mathematik

Lagebeziehungen von Geraden

Kollinear

 

Mathe

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803

•

5. Feb. 2026

•

2 Seiten

Geometrie und Vektoren Klausurvorbereitung

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@alinairinaa

Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil der analytischen Geometrie und kommt garantiert in eurer Klausur vor. Hier lernt ihr alles über Vektoren, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum - von den Grundlagen bis zu komplexeren Aufgaben.

Klausur I Betrag eines vektors $ \vec{a} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} $ Addit Absta -- Skalarmultiplikation (db)+d-bd-by- P(-41312) 0(91-

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Grundlagen der Vektorrechnung

Vektorbetrag berechnen ist super einfach: Ihr nehmt alle Koordinaten, quadriert sie, addiert alles und zieht die Wurzel. Bei a⃗=(1 2 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} ist der Betrag also ∣a⃗∣=12+22+32=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

Beim Rechnen mit Vektoren könnt ihr addieren, subtrahieren und mit Zahlen multiplizieren - komponententweise versteht sich. Der Abstand zwischen zwei Punkten funktioniert wie der Vektorbetrag, nur dass ihr vorher die Koordinaten voneinander abzieht.

Kollinearität prüfen bedeutet checken, ob zwei Vektoren parallel sind. Das geht mit u⃗=t⋅v⃗\vec{u} = t \cdot \vec{v} - wenn ihr einen gemeinsamen Faktor t findet, sind sie kollinear. Bei Geradengleichungen braucht ihr einen Stützvektor und einen Richtungsvektor: g⃗=x⃗0+t⋅a⃗\vec{g} = \vec{x}_0 + t \cdot \vec{a}.

Tipp: Beim Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 sind die Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander)!

Das Skalarprodukt hilft euch bei Winkeln zwischen Vektoren. Die Formel cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} gibt euch den Winkel direkt.

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Ebenengleichungen aufstellen

Eine Ebenengleichung aus drei Punkten aufzustellen ist eigentlich nur ein Fünf-Schritte-Plan. Zuerst nehmt ihr einen Punkt als Stützvektor, dann berechnet ihr die zwei Spannvektoren zu den anderen Punkten.

Der wichtige dritte Schritt: Kollinearität prüfen! Die Spannvektoren dürfen nicht parallel sein, sonst habt ihr keine Ebene. Bei AB⃗=(1 2 1)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} und AC⃗=(1 1 1)\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} seht ihr sofort - kein gemeinsamer Faktor, also alles gut.

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Entdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen in der Mathematik. Diese Zusammenfassung behandelt die allgemeine Form, Symmetrie, Asymptoten, und die Auswirkungen von Exponenten auf den Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Binomische Formeln verstehen

Entdecke die drei Binomischen Formeln mit detaillierten Erklärungen und Beispielen. Lerne, wie man sie anwendet, um algebraische Ausdrücke zu vereinfachen und zu lösen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in Algebra vertiefen möchten.

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Bruchrechnung verstehen

Entdecken Sie die Grundlagen der Bruchrechnung: Erweitern, Kürzen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und Erklärungen zu echten, unechten und gleichnamigen Brüchen sowie zu Kehrwerten. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Bruchrechnung vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt

Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Szenenanalyse Der Zerbrochene Krug

Szenenanalyse behandelt einen Ausschnitt aus dem 7. Auftritt (S.29-31 V.498-536) aus dem Lustspiel „Der Zerbrochene Krug“ von Heinrich von Kleist.

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Literarische Erörterung: Der zerbrochene Krug

Literarische Erörterung der Abilektüre mit Auflistung wichtiger Textstellen

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Der zerbrochene Krug Lernzettel & Zusammenfassung

Der zerbrochene Krug, Die wichtigsten Informationen zusammengefasst, Lernzettel

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

Android-Nutzerin

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Anna

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Thomas R

iOS-Nutzer

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Basil

Android-Nutzer

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

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Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer