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4. Dez. 2025

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Geometrie und Vektoren Klausurvorbereitung

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Alina @alinairinaa

Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil der analytischen Geometrie und kommt garantiert in eurer Klausur vor. Hier lernt ihr... Mehr anzeigen

Klausur I Betrag eines vektors đ (3) = 1 +22+3 Rechnen mit Vektoren Addition von Vektoren a₁ + b₁ I IIIII Abstand zweier Punkte im Raum PQ-P

Grundlagen der Vektorrechnung

Vektorbetrag berechnen ist super einfach Ihr nehmt alle Koordinaten, quadriert sie, addiert alles und zieht die Wurzel. Bei a⃗=(1 2 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} ist der Betrag also ∣a⃗∣=12+22+32=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

Beim Rechnen mit Vektoren könnt ihr addieren, subtrahieren und mit Zahlen multiplizieren - komponententweise versteht sich. Der Abstand zwischen zwei Punkten funktioniert wie der Vektorbetrag, nur dass ihr vorher die Koordinaten voneinander abzieht.

Kollinearität prüfen bedeutet checken, ob zwei Vektoren parallel sind. Das geht mit u⃗=t⋅v⃗\vec{u} = t \cdot \vec{v} - wenn ihr einen gemeinsamen Faktor t findet, sind sie kollinear. Bei Geradengleichungen braucht ihr einen Stützvektor und einen Richtungsvektor g⃗=x⃗0+t⋅a⃗\vec{g} = \vec{x}_0 + t \cdot \vec{a}.

Tipp Beim Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 sind die Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander)!

Das Skalarprodukt hilft euch bei Winkeln zwischen Vektoren. Die Formel cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} gibt euch den Winkel direkt.

Klausur I Betrag eines vektors đ (3) = 1 +22+3 Rechnen mit Vektoren Addition von Vektoren a₁ + b₁ I IIIII Abstand zweier Punkte im Raum PQ-P

Ebenengleichungen aufstellen

Eine Ebenengleichung aus drei Punkten aufzustellen ist eigentlich nur ein Fünf-Schritte-Plan. Zuerst nehmt ihr einen Punkt als Stützvektor, dann berechnet ihr die zwei Spannvektoren zu den anderen Punkten.

Der wichtige dritte Schritt Kollinearität prüfen! Die Spannvektoren dürfen nicht parallel sein, sonst habt ihr keine Ebene. Bei AB⃗=(1 2 1)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} und AC⃗=(1 1 1)\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} seht ihr sofort - kein gemeinsamer Faktor, also alles gut.

Die fertige Ebenengleichung sieht dann so aus x⃗=(1 0 0)+r(1 2 1)+s(1 1 1)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix}. Die Parameter r und s könnt ihr frei wählen, um verschiedene Punkte der Ebene zu bekommen.

Merkhilfe Eine Ebene braucht immer einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Spannvektoren!

Ebenen aus zwei Geraden funktioniert ähnlich - ihr nehmt den Stützvektor der einen Geraden und die beiden Richtungsvektoren als Spannvektoren.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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•

4. Dez. 2025

•

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Geometrie und Vektoren Klausurvorbereitung

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Grundlagen der Vektorrechnung

Vektorbetrag berechnen ist super einfach: Ihr nehmt alle Koordinaten, quadriert sie, addiert alles und zieht die Wurzel. Bei a⃗=(1 2 3)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} ist der Betrag also ∣a⃗∣=12+22+32=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

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App Store

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

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Sarah L

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Hans T

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