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Mathe814Aktualisiert 2. Sept. 20262 Seiten

Geometrie und Vektoren Klausurvorbereitung

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Alina @alinairinaa
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Vektorrechnung ist ein wichtiger Teil der analytischen Geometrie und kommt garantiert in eurer Klausur vor. Hier lernt ihr alles über Vektoren, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum - von den Grundlagen bis zu komplexeren Aufgaben.
Geometrie/ Vektoren Klausur Lernzettel – Seite 1

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Grundlagen der Vektorrechnung

Vektorbetrag berechnen ist super einfach: Ihr nehmt alle Koordinaten, quadriert sie, addiert alles und zieht die Wurzel. Bei a⃗=(123)\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ist der Betrag also ∣a⃗∣=12+22+32=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}.

Beim Rechnen mit Vektoren könnt ihr addieren, subtrahieren und mit Zahlen multiplizieren - komponententweise versteht sich. Der Abstand zwischen zwei Punkten funktioniert wie der Vektorbetrag, nur dass ihr vorher die Koordinaten voneinander abzieht.

Kollinearität prüfen bedeutet checken, ob zwei Vektoren parallel sind. Das geht mit u⃗=t⋅v⃗\vec{u} = t \cdot \vec{v} - wenn ihr einen gemeinsamen Faktor t findet, sind sie kollinear. Bei Geradengleichungen braucht ihr einen Stützvektor und einen Richtungsvektor: g⃗=x⃗0+t⋅a⃗\vec{g} = \vec{x}_0 + t \cdot \vec{a}.

Tipp: Beim Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 sind die Vektoren orthogonal (senkrecht zueinander)!

Das Skalarprodukt hilft euch bei Winkeln zwischen Vektoren. Die Formel cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} gibt euch den Winkel direkt.

Geometrie/ Vektoren Klausur Lernzettel – Seite 2

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Ebenengleichungen aufstellen

Eine Ebenengleichung aus drei Punkten aufzustellen ist eigentlich nur ein Fünf-Schritte-Plan. Zuerst nehmt ihr einen Punkt als Stützvektor, dann berechnet ihr die zwei Spannvektoren zu den anderen Punkten.

Der wichtige dritte Schritt: Kollinearität prüfen! Die Spannvektoren dürfen nicht parallel sein, sonst habt ihr keine Ebene. Bei AB⃗=(121)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} und AC⃗=(111)\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} seht ihr sofort - kein gemeinsamer Faktor, also alles gut.

Die fertige Ebenengleichung sieht dann so aus: x⃗=(100)+r(121)+s(111)\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. Die Parameter r und s könnt ihr frei wählen, um verschiedene Punkte der Ebene zu bekommen.

Merkhilfe: Eine Ebene braucht immer einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Spannvektoren!

Ebenen aus zwei Geraden funktioniert ähnlich - ihr nehmt den Stützvektor der einen Geraden und die beiden Richtungsvektoren als Spannvektoren.

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