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10. Feb. 2026
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@smartes.wesen06
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind wichtige Bausteine der Mathematik. In... Mehr anzeigen
Ganzrationale Funktionen sind Summen oder Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen wie f(x)=3x³-9x²-120x. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades lautet: f(x) = a₍ₙ₎x^n + a₍ₙ₋₁₎x^ + ... + a₁x + a₀, wobei a₍ₙ₎ ≠ 0 und a₀ das absolute Glied ist.
Um den Verlauf des Graphen zu verstehen, untersuchen wir sein Verhalten bei sehr großen und sehr kleinen x-Werten:
🔍 Tipp: Der Grad einer ganzrationalen Funktion verrät dir, wie viele Nullstellen und Wendepunkte der Graph maximal haben kann!
Funktionen werden meist mit f, g oder h bezeichnet und besitzen wichtige Eigenschaften, die du kennen solltest. Die Definitionsmenge Df ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion ein Wert zugeordnet wird.
Der Funktionswert f(x₀) ("f von x₀") ist der Wert, den die Funktion an der Stelle x₀ annimmt. Die Menge aller möglichen Funktionswerte nennt man Wertemenge Wf.
Die Funktionsvorschrift f: x → 3x²+5 gibt an, wie jedem x ein Wert zugeordnet wird. Die entsprechende Funktionsgleichung f(x) = 3x²+5 erlaubt es, konkrete Funktionswerte zu berechnen.
Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten P(x|y), deren Koordinaten die Gleichung y = f(x) erfüllen. Da jedem x genau ein y zugeordnet wird, hat der Graph mit jeder Parallelen zur y-Achse höchstens einen Schnittpunkt.
⚡ Wichtig: Eine Funktion ordnet jedem Wert aus der Definitionsmenge genau einen Funktionswert zu – niemals mehrere!
Potenzfunktionen haben die Form f(x)=ax^n und zeigen charakteristische Merkmale in ihren Graphen. Alle Potenzfunktionen gehen durch den Punkt S(0|0), was bedeutet, dass immer f(0)=0 gilt.
Der Faktor a bestimmt, ob der Graph gestaucht oder gestreckt wird. Bei -1 < a < 1 erscheint der Graph breiter (gestaucht), während bei a < -1 oder a > 1 der Graph enger (gestreckt) wird als der Standardgraph von g(x)=x^n.
Bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten (z.B. x², x⁴) gilt: f(1)=a und f(-1)=a, und alle Funktionswerte haben das gleiche Vorzeichen. Bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten (z.B. x³, x⁵) gilt ebenfalls f(1)=a und f(-1)=-a, aber die Funktionswerte wechseln bei x=0 ihr Vorzeichen.
💡 Merkhilfe: Bei geraden Exponenten ist der Graph symmetrisch zur y-Achse, bei ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung.
Lineare Funktionen mit f(x) = m·x + n haben einen geraden Graphen. Der Wert n ist der y-Achsenabschnitt und gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse (0|n) an. Der Faktor m bestimmt die Steigung des Graphen.
Quadratische Funktionen können in zwei Formen dargestellt werden:
In der Normalform kannst du direkt den y-Achsenabschnitt c ablesen. Die Scheitelpunktform verrät dir sofort den Scheitelpunkt S(d|e) der Parabel. Der Faktor a ist der Streckungsfaktor des Graphen.
Ein besonders wichtiger Punkt bei Funktionen sind ihre Nullstellen. An diesen Stellen schneidet der Graph die x-Achse und der Funktionswert ist null: f(x₀) = 0. Die Werte x₀ nennt man Nullstellen der Funktion.
📈 Praxistipp: Um schnell eine Funktion zu skizzieren, bestimme immer zuerst die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt!
Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen stehen in einem besonderen Zusammenhang zueinander. Sie bilden mathematische Gegenstücke: Was eine Potenzfunktion "macht", kann eine Wurzelfunktion wieder "rückgängig" machen.
Die quadratische Potenzfunktion f(x) = x² und die quadratische Wurzelfunktion q(x) = √x sind ein solches Paar. Zum Beispiel ist 3² = 9 und √9 = 3. Sie heben ihre Wirkungen gegenseitig auf.
Ebenso bilden die kubische Potenzfunktion g(x) = x³ und die kubische Wurzelfunktion k(x) = ∛x ein Paar. Hier gilt beispielsweise 2³ = 8 und ∛8 = 2.
Allgemein lässt sich für alle positiven Zahlen x eine Potenz x^n durch das Ziehen der n-ten Wurzel umkehren.
🔄 Merke: Potenz- und Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen zueinander. Ihre Graphen sind an der Geraden y = x gespiegelt!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
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Samantha Klich
Android-Nutzerin
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Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
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Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
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Xander S
iOS-Nutzer
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Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
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Stefan S
iOS-Nutzer
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Thomas R
iOS-Nutzer
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
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Elisha
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Paul T
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Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind wichtige Bausteine der Mathematik. In diesem Überblick lernst du ihre Eigenschaften, Graphen und Verhaltensweisen kennen. Das Verständnis dieser Funktionstypen ist grundlegend für die höhere Mathematik.
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Ganzrationale Funktionen sind Summen oder Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen wie f(x)=3x³-9x²-120x. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades lautet: f(x) = a₍ₙ₎x^n + a₍ₙ₋₁₎x^ + ... + a₁x + a₀, wobei a₍ₙ₎ ≠ 0 und a₀ das absolute Glied ist.
Um den Verlauf des Graphen zu verstehen, untersuchen wir sein Verhalten bei sehr großen und sehr kleinen x-Werten:
🔍 Tipp: Der Grad einer ganzrationalen Funktion verrät dir, wie viele Nullstellen und Wendepunkte der Graph maximal haben kann!
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Funktionen werden meist mit f, g oder h bezeichnet und besitzen wichtige Eigenschaften, die du kennen solltest. Die Definitionsmenge Df ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion ein Wert zugeordnet wird.
Der Funktionswert f(x₀) ("f von x₀") ist der Wert, den die Funktion an der Stelle x₀ annimmt. Die Menge aller möglichen Funktionswerte nennt man Wertemenge Wf.
Die Funktionsvorschrift f: x → 3x²+5 gibt an, wie jedem x ein Wert zugeordnet wird. Die entsprechende Funktionsgleichung f(x) = 3x²+5 erlaubt es, konkrete Funktionswerte zu berechnen.
Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten P(x|y), deren Koordinaten die Gleichung y = f(x) erfüllen. Da jedem x genau ein y zugeordnet wird, hat der Graph mit jeder Parallelen zur y-Achse höchstens einen Schnittpunkt.
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Potenzfunktionen haben die Form f(x)=ax^n und zeigen charakteristische Merkmale in ihren Graphen. Alle Potenzfunktionen gehen durch den Punkt S(0|0), was bedeutet, dass immer f(0)=0 gilt.
Der Faktor a bestimmt, ob der Graph gestaucht oder gestreckt wird. Bei -1 < a < 1 erscheint der Graph breiter (gestaucht), während bei a < -1 oder a > 1 der Graph enger (gestreckt) wird als der Standardgraph von g(x)=x^n.
Bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten (z.B. x², x⁴) gilt: f(1)=a und f(-1)=a, und alle Funktionswerte haben das gleiche Vorzeichen. Bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten (z.B. x³, x⁵) gilt ebenfalls f(1)=a und f(-1)=-a, aber die Funktionswerte wechseln bei x=0 ihr Vorzeichen.
💡 Merkhilfe: Bei geraden Exponenten ist der Graph symmetrisch zur y-Achse, bei ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung.
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Lineare Funktionen mit f(x) = m·x + n haben einen geraden Graphen. Der Wert n ist der y-Achsenabschnitt und gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse (0|n) an. Der Faktor m bestimmt die Steigung des Graphen.
Quadratische Funktionen können in zwei Formen dargestellt werden:
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Ein besonders wichtiger Punkt bei Funktionen sind ihre Nullstellen. An diesen Stellen schneidet der Graph die x-Achse und der Funktionswert ist null: f(x₀) = 0. Die Werte x₀ nennt man Nullstellen der Funktion.
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Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen stehen in einem besonderen Zusammenhang zueinander. Sie bilden mathematische Gegenstücke: Was eine Potenzfunktion "macht", kann eine Wurzelfunktion wieder "rückgängig" machen.
Die quadratische Potenzfunktion f(x) = x² und die quadratische Wurzelfunktion q(x) = √x sind ein solches Paar. Zum Beispiel ist 3² = 9 und √9 = 3. Sie heben ihre Wirkungen gegenseitig auf.
Ebenso bilden die kubische Potenzfunktion g(x) = x³ und die kubische Wurzelfunktion k(x) = ∛x ein Paar. Hier gilt beispielsweise 2³ = 8 und ∛8 = 2.
Allgemein lässt sich für alle positiven Zahlen x eine Potenz x^n durch das Ziehen der n-ten Wurzel umkehren.
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Stefan S
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Samantha Klich
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Anna
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Thomas R
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Basil
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David K
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Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
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Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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