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20.11.2025
Mathe
Gesamtpaket: Funktionen
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20. Nov. 2025
•
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@smartes.wesen06
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind wichtige Bausteine der Mathematik. In... Mehr anzeigen
Ganzrationale Funktionen sind Summen oder Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen wie f(x)=3x³-9x²-120x. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades lautet: f(x) = a₍ₙ₎x^n + a₍ₙ₋₁₎x^ + ... + a₁x + a₀, wobei a₍ₙ₎ ≠ 0 und a₀ das absolute Glied ist.
Um den Verlauf des Graphen zu verstehen, untersuchen wir sein Verhalten bei sehr großen und sehr kleinen x-Werten:
🔍 Tipp: Der Grad einer ganzrationalen Funktion verrät dir, wie viele Nullstellen und Wendepunkte der Graph maximal haben kann!
Funktionen werden meist mit f, g oder h bezeichnet und besitzen wichtige Eigenschaften, die du kennen solltest. Die Definitionsmenge Df ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion ein Wert zugeordnet wird.
Der Funktionswert f(x₀) ("f von x₀") ist der Wert, den die Funktion an der Stelle x₀ annimmt. Die Menge aller möglichen Funktionswerte nennt man Wertemenge Wf.
Die Funktionsvorschrift f: x → 3x²+5 gibt an, wie jedem x ein Wert zugeordnet wird. Die entsprechende Funktionsgleichung f(x) = 3x²+5 erlaubt es, konkrete Funktionswerte zu berechnen.
Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten P(x|y), deren Koordinaten die Gleichung y = f(x) erfüllen. Da jedem x genau ein y zugeordnet wird, hat der Graph mit jeder Parallelen zur y-Achse höchstens einen Schnittpunkt.
⚡ Wichtig: Eine Funktion ordnet jedem Wert aus der Definitionsmenge genau einen Funktionswert zu – niemals mehrere!
Potenzfunktionen haben die Form f(x)=ax^n und zeigen charakteristische Merkmale in ihren Graphen. Alle Potenzfunktionen gehen durch den Punkt S(0|0), was bedeutet, dass immer f(0)=0 gilt.
Der Faktor a bestimmt, ob der Graph gestaucht oder gestreckt wird. Bei -1 < a < 1 erscheint der Graph breiter (gestaucht), während bei a < -1 oder a > 1 der Graph enger (gestreckt) wird als der Standardgraph von g(x)=x^n.
Bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten (z.B. x², x⁴) gilt: f(1)=a und f(-1)=a, und alle Funktionswerte haben das gleiche Vorzeichen. Bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten (z.B. x³, x⁵) gilt ebenfalls f(1)=a und f(-1)=-a, aber die Funktionswerte wechseln bei x=0 ihr Vorzeichen.
💡 Merkhilfe: Bei geraden Exponenten ist der Graph symmetrisch zur y-Achse, bei ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung.
Lineare Funktionen mit f(x) = m·x + n haben einen geraden Graphen. Der Wert n ist der y-Achsenabschnitt und gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse (0|n) an. Der Faktor m bestimmt die Steigung des Graphen.
Quadratische Funktionen können in zwei Formen dargestellt werden:
In der Normalform kannst du direkt den y-Achsenabschnitt c ablesen. Die Scheitelpunktform verrät dir sofort den Scheitelpunkt S(d|e) der Parabel. Der Faktor a ist der Streckungsfaktor des Graphen.
Ein besonders wichtiger Punkt bei Funktionen sind ihre Nullstellen. An diesen Stellen schneidet der Graph die x-Achse und der Funktionswert ist null: f(x₀) = 0. Die Werte x₀ nennt man Nullstellen der Funktion.
📈 Praxistipp: Um schnell eine Funktion zu skizzieren, bestimme immer zuerst die Nullstellen und den y-Achsenabschnitt!
Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen stehen in einem besonderen Zusammenhang zueinander. Sie bilden mathematische Gegenstücke: Was eine Potenzfunktion "macht", kann eine Wurzelfunktion wieder "rückgängig" machen.
Die quadratische Potenzfunktion f(x) = x² und die quadratische Wurzelfunktion q(x) = √x sind ein solches Paar. Zum Beispiel ist 3² = 9 und √9 = 3. Sie heben ihre Wirkungen gegenseitig auf.
Ebenso bilden die kubische Potenzfunktion g(x) = x³ und die kubische Wurzelfunktion k(x) = ∛x ein Paar. Hier gilt beispielsweise 2³ = 8 und ∛8 = 2.
Allgemein lässt sich für alle positiven Zahlen x eine Potenz x^n durch das Ziehen der n-ten Wurzel umkehren.
🔄 Merke: Potenz- und Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen zueinander. Ihre Graphen sind an der Geraden y = x gespiegelt!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Stefan S
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Samantha Klich
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Julia S
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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@smartes.wesen06
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen sind wichtige Bausteine der Mathematik. In diesem Überblick lernst du ihre Eigenschaften, Graphen und Verhaltensweisen kennen. Das Verständnis dieser Funktionstypen ist grundlegend für die höhere Mathematik.
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Ganzrationale Funktionen sind Summen oder Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen wie f(x)=3x³-9x²-120x. Der höchste vorkommende Exponent bestimmt den Grad der Funktion.
Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades lautet: f(x) = a₍ₙ₎x^n + a₍ₙ₋₁₎x^ + ... + a₁x + a₀, wobei a₍ₙ₎ ≠ 0 und a₀ das absolute Glied ist.
Um den Verlauf des Graphen zu verstehen, untersuchen wir sein Verhalten bei sehr großen und sehr kleinen x-Werten:
🔍 Tipp: Der Grad einer ganzrationalen Funktion verrät dir, wie viele Nullstellen und Wendepunkte der Graph maximal haben kann!
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Funktionen werden meist mit f, g oder h bezeichnet und besitzen wichtige Eigenschaften, die du kennen solltest. Die Definitionsmenge Df ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion ein Wert zugeordnet wird.
Der Funktionswert f(x₀) ("f von x₀") ist der Wert, den die Funktion an der Stelle x₀ annimmt. Die Menge aller möglichen Funktionswerte nennt man Wertemenge Wf.
Die Funktionsvorschrift f: x → 3x²+5 gibt an, wie jedem x ein Wert zugeordnet wird. Die entsprechende Funktionsgleichung f(x) = 3x²+5 erlaubt es, konkrete Funktionswerte zu berechnen.
Der Graph einer Funktion besteht aus allen Punkten P(x|y), deren Koordinaten die Gleichung y = f(x) erfüllen. Da jedem x genau ein y zugeordnet wird, hat der Graph mit jeder Parallelen zur y-Achse höchstens einen Schnittpunkt.
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Potenzfunktionen haben die Form f(x)=ax^n und zeigen charakteristische Merkmale in ihren Graphen. Alle Potenzfunktionen gehen durch den Punkt S(0|0), was bedeutet, dass immer f(0)=0 gilt.
Der Faktor a bestimmt, ob der Graph gestaucht oder gestreckt wird. Bei -1 < a < 1 erscheint der Graph breiter (gestaucht), während bei a < -1 oder a > 1 der Graph enger (gestreckt) wird als der Standardgraph von g(x)=x^n.
Bei Potenzfunktionen mit geraden Exponenten (z.B. x², x⁴) gilt: f(1)=a und f(-1)=a, und alle Funktionswerte haben das gleiche Vorzeichen. Bei Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten (z.B. x³, x⁵) gilt ebenfalls f(1)=a und f(-1)=-a, aber die Funktionswerte wechseln bei x=0 ihr Vorzeichen.
💡 Merkhilfe: Bei geraden Exponenten ist der Graph symmetrisch zur y-Achse, bei ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung.
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Lineare Funktionen mit f(x) = m·x + n haben einen geraden Graphen. Der Wert n ist der y-Achsenabschnitt und gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse (0|n) an. Der Faktor m bestimmt die Steigung des Graphen.
Quadratische Funktionen können in zwei Formen dargestellt werden:
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Ein besonders wichtiger Punkt bei Funktionen sind ihre Nullstellen. An diesen Stellen schneidet der Graph die x-Achse und der Funktionswert ist null: f(x₀) = 0. Die Werte x₀ nennt man Nullstellen der Funktion.
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Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen stehen in einem besonderen Zusammenhang zueinander. Sie bilden mathematische Gegenstücke: Was eine Potenzfunktion "macht", kann eine Wurzelfunktion wieder "rückgängig" machen.
Die quadratische Potenzfunktion f(x) = x² und die quadratische Wurzelfunktion q(x) = √x sind ein solches Paar. Zum Beispiel ist 3² = 9 und √9 = 3. Sie heben ihre Wirkungen gegenseitig auf.
Ebenso bilden die kubische Potenzfunktion g(x) = x³ und die kubische Wurzelfunktion k(x) = ∛x ein Paar. Hier gilt beispielsweise 2³ = 8 und ∛8 = 2.
Allgemein lässt sich für alle positiven Zahlen x eine Potenz x^n durch das Ziehen der n-ten Wurzel umkehren.
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Entdecken Sie die Grundlagen der Funktionen, einschließlich Potenz-, trigonometrischer, logarithmischer und exponentieller Funktionen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über Definitionsbereiche, Monotonie, Symmetrie und Nullstellen, ideal zur Vorbereitung auf die BLF in der 10. Klasse.
MatheEntdecken Sie die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit natürlichen und negativen ganzzahligen Exponenten. Diese Zusammenfassung behandelt die Symmetrie der Graphen, die Definitionen von Wurzelfunktionen und die Unterschiede zwischen geraden und ungeraden Exponenten. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis der Funktionsgraphen und ihrer Eigenschaften erlangen möchten.
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MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Potenzfunktionen, einschließlich Definitions- und Wertebereich, sowie deren Darstellungsweisen. Erfahren Sie mehr über die Berechnung von Nullstellen, die Streckung und Stauchung von Funktionen und die Beziehung zu Polynomen und Sinusfunktionen. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für mathematische Funktionen entwickeln möchten.
MatheEntdecken Sie die grundlegenden Eigenschaften von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Diese Zusammenfassung behandelt den Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrie und Monotonie für gerade und ungerade Exponenten. Ideal für Studierende, die ein tieferes Verständnis für Potenzfunktionen und deren graphische Darstellung entwickeln möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Jana V
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Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Sudenaz Ocak
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Marcus B
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