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Mathematik

Quadratische Ausdrücke und Formen

Quadratische Gleichung

Mathe1.609Aktualisiert 9. Okt. 20264 Seiten

Gleichungen verständlich erklärt für die BOS 11. Klasse

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Verena @verena_neab
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Gleichungen sind überall in der Mathematik und jeder Typ hat seine eigene Lösungsmethode. Von linearen Gleichungen über quadratische bis hin zu komplexeren Systemen - hier lernst du alle wichtigen Verfahren, die du für deine Prüfungen brauchst.
Gleichungen – Seite 1

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Lineare Gleichungen und Ungleichungen

Lineare Gleichungen sind dein Einstieg in die Welt der Gleichungen - und eigentlich ziemlich einfach! Du musst nur nach x auflösen durch Äquivalenzumformungen. Das bedeutet, du darfst beide Seiten gleich behandeln.

Die wichtigsten Regeln: Du kannst beide Seiten addieren, subtrahieren, multiplizieren oder teilen (nur nicht durch 0!). Auch Seiten tauschen ist erlaubt. Ein Beispiel: x3+4=25\frac{x}{3} + 4 = 25 wird zu x=35x = 35.

Bei linearen Ungleichungen gelten fast die gleichen Regeln. Der einzige Unterschied: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, musst du das Relationszeichen umdrehen. Aus << wird >> und umgekehrt.

Bruchgleichungen sehen komplizierter aus, sind aber machbar. Wichtig: Berechne zuerst die verbotenen Lösungen (wo der Nenner 0 wird), dann löse die Gleichung normal auf.

Tipp: Bei Bruchgleichungen immer zuerst prüfen, welche x-Werte verboten sind!

Gleichungen – Seite 2

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Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen erkennst du am x2x^2 - und für sie brauchst du spezielle Lösungsformeln. Es gibt zwei Hauptformen: die allgemeine Form ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 und die Normalform x2+px+q=0x^2 + px + q = 0.

Für die allgemeine Form verwendest du die Mitternachtsformel: x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Für die Normalform die p-q-Formel: x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}.

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante (D). Sie verrät dir alles: D > 0 bedeutet zwei Lösungen, D = 0 eine Lösung, D < 0 keine Lösung. Bei Parameteraufgaben setzt du die Diskriminante entsprechend gleich 0, größer 0 oder kleiner 0.

Das klingt kompliziert, aber mit etwas Übung wird's automatisch. Die Formeln musst du auswendig können!

Merkregel: Die Mitternachtsformel solltest du um Mitternacht geweckt aufsagen können!

Gleichungen – Seite 3

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Lineare Gleichungssysteme

Gleichungssysteme löst du, wenn mehrere Unbekannte gleichzeitig bestimmt werden müssen. Du brauchst mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte. Die Lösung muss in allen Gleichungen funktionieren.

Drei bewährte Methoden stehen dir zur Verfügung: Das Einsetzungsverfahren (eine Gleichung nach einer Variable auflösen und einsetzen), das Additionsverfahren (Gleichungen so addieren/subtrahieren, dass eine Variable wegfällt) und das Gleichsetzungsverfahren (beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen).

Bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten machst du erst zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten draus. Der Gauß-Algorithmus ist dafür perfekt - du bringst das System in Zeilenstufenform und setzt dann rückwärts ein.

Vergiss nie die Probe am Ende - setz deine Lösung in alle ursprünglichen Gleichungen ein!

Praxis-Tipp: Wähl das Verfahren, das bei deinem konkreten System am einfachsten aussieht!

Gleichungen – Seite 4

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Polynomdivision

Die Polynomdivision brauchst du für Gleichungen 3. Grades und höher - sie funktioniert ähnlich wie schriftliches Dividieren. Damit findest du alle Nullstellen von komplizierteren Funktionen.

Das Vorgehen ist systematisch: Zuerst findest du durch Probieren oder mit dem Taschenrechner eine Nullstelle. Dann teilst du die Funktionsgleichung durch (x−Nullstelle)(x - \text{Nullstelle}) - Achtung, Vorzeichen umdrehen!

Nach der Division erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit der Mitternachtsformel oder p-q-Formel lösen kannst. So bekommst du alle weiteren Nullstellen. Bei der Division selbst musst du sehr sorgfältig rechnen und die Klammern nicht vergessen.

Ein Beispiel: x3−2x2−5x+6x^3 - 2x^2 - 5x + 6 mit der gefundenen Nullstelle x1=1x_1 = 1 ergibt nach Division x2−x−6x^2 - x - 6, woraus du die restlichen Nullstellen berechnest.

Übungs-Tipp: Die Polynomdivision braucht Routine - übe das Schema mehrmals durch!

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