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Mathematik

Eigenschaften von Potenzen und Logarithmen

Exponent

Mathe1.411Aktualisiert 22. Sept. 20266 Seiten

Mathematik Grundlagen für die Oberstufe

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Leni Wocken@leniwocken
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Funktionen sind ein super wichtiges Thema in Mathe, das dir in vielen Situationen begegnet. Du lernst hier die Grundlagen - von den Basics bis zu speziellen Funktionstypen wie linearen und quadratischen Funktionen.
Grundlagen Mathe Oberstufe – Seite 1

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Grundlagen von Funktionen

Stell dir eine Funktion wie eine Maschine vor: Du gibst einen x-Wert rein und bekommst einen y-Wert raus. Der Definitionsbereich D sind alle möglichen x-Werte, die du eingeben kannst. Der Wertebereich W sind alle y-Werte, die rauskommen können.

Die Funktionsgleichung schreibst du als fxx = ... - das ist dein Rezept. Wenn du einen konkreten x-Wert einsetzt, zum Beispiel f(3), dann berechnest du den Funktionswert an der Stelle 3.

Funktionswerte berechnen ist easy: x-Wert in die Formel einsetzen und ausrechnen. Bei fxx = 3x - 5 und x = 5 rechnest du: f(5) = 3·5 - 5 = 10. Stellen berechnen geht rückwärts: y-Wert für fxx einsetzen und nach x auflösen.

Merktipp: x ist die Eingabe (Stelle), y ist die Ausgabe (Funktionswert)!

Grundlagen Mathe Oberstufe – Seite 2

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Wertetabellen und Punktproben

Wertetabellen sind dein bester Freund beim Verstehen von Funktionen. Du suchst dir ein paar x-Werte aus, setzt sie in die Formel ein und trägst die Ergebnisse in eine Tabelle ein. So siehst du schnell, wie sich die Funktion verhält.

Mit dem Taschenrechner geht's genauso wie beim Berechnen von Funktionswerten. Einfach die Formel eingeben und verschiedene x-Werte ausprobieren.

Bei Punktproben checkst du, ob ein bestimmter Punkt auf deiner Funktion liegt. Du setzt die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein. Kommt eine wahre Aussage raus wie7=7wie 7 = 7, liegt der Punkt auf der Funktion.

Praxistipp: Wertetabellen helfen dir mega beim Zeichnen von Graphen!

Grundlagen Mathe Oberstufe – Seite 3

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Schnittpunkte bestimmen

Nullstellen findest du, indem du fxx = 0 setzt und nach x auflöst. Das sind die Stellen, wo dein Graph die x-Achse schneidet. Bei quadratischen Funktionen können auch zwei Nullstellen rauskommen.

Den Schnittpunkt mit der y-Achse kriegst du, wenn du x = 0 in die Funktion einsetzt. Das Ergebnis ist dein y-Achsenabschnitt.

Schnittpunkte zweier Graphen findest du, indem du die beiden Funktionsterme gleichsetzt: fxx = gxx. Dann löst du nach x auf und kannst den zugehörigen y-Wert berechnen.

Wichtig: Nullstellen sind super wichtig für Klausuren - üb das gut!

Grundlagen Mathe Oberstufe – Seite 4

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Lineare und quadratische Funktionen

Lineare Funktionen haben einen geraden Graph. Die Steigung m berechnest du mit der Formel m = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁. Je größer m, desto steiler wird's.

Quadratische Funktionen haben drei verschiedene Formen: die allgemeine Form fxx = ax² + bx + c, die Scheitelpunktform fxx = ax−ux-u² + v und die faktorisierte Form.

Die pq-Formel brauchst du für quadratische Gleichungen: x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q. Das sieht kompliziert aus, aber mit Übung wird's automatisch.

Lerntrick: Die pq-Formel auswendig lernen - die brauchst du ständig!

Grundlagen Mathe Oberstufe – Seite 5

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Potenzfunktionen verstehen

Potenzfunktionen haben die Form fxx = xⁿ mit natürlichen Exponenten. Sie verhalten sich je nach Exponent unterschiedlich.

Bei geraden Exponenten ist der Graph wie eine U-Form. Er geht durch die Punkte −1∣1-1|1, (0|0) und (1|1). Links vom Nullpunkt fällt er, rechts steigt er. Je größer der Exponent, desto steiler wird's.

Bei ungeraden Exponenten geht der Graph durch −1∣−1-1|-1, (0|0) und (1|1). Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung und steigt überall. Das bedeutet: negative x-Werte geben negative y-Werte.

Visualtipp: Zeichne dir die Grundformen auf - das hilft beim Verstehen!

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Änderungsraten berechnen

Die mittlere Änderungsrate zeigt dir, wie stark sich eine Funktion in einem bestimmten Bereich verändert. Du berechnest sie mit Δy/Δx = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁.

Das ist eigentlich das Gleiche wie die Steigung einer Geraden zwischen zwei Punkten. Man nennt es auch Differenzenquotient.

In der Wertetabelle siehst du: Wenn x von 2 auf 5 steigt, steigt y von 4 auf 25. Die mittlere Änderungsrate ist also 21/3 = 7.

Anwendung: Mittlere Änderungsraten findest du überall - von Geschwindigkeiten bis zu Wachstumsraten!

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