Grundlegendes Wissen über Vektoren – Berechnung und Anwendungen

Was ist ein Vektor?

Stell dir vor, du willst jemandem erklären, wo sich dein Lieblingsort befindet - du brauchst nicht nur die Entfernung, sondern auch die Richtung. Genau das macht ein Vektor! Er ist eine Größe, die durch ihre Länge und Richtung bestimmt wird.

Ein Vektor wird als Pfeil dargestellt und mathematisch in Klammern geschrieben: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$. Die erste Zahl zeigt die Bewegung in x-Richtung, die zweite in y-Richtung.

Die Länge eines Vektors berechnest du mit der Formel $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Bei unserem Beispiel: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Rechnen mit Vektoren

Vektoren addieren ist kinderleicht: Du rechnest einfach die entsprechenden Zahlen zusammen. $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}$.

Beim Subtrahieren ziehst du entsprechend ab. Den Gegenvektor erhältst du, indem du vor jede Zahl ein Minuszeichen setzt: $-\vec{a} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$.

Tipp: Stell dir Vektoraddition wie das Gehen von Wegstrecken vor - du gehst erst in eine Richtung, dann in die andere!

Verbindungsvektor

Du willst wissen, wie du von Punkt A zu Punkt B kommst? Der Verbindungsvektor zeigt dir den direkten Weg! Er verbindet zwei beliebige Punkte miteinander und wird mit $\vec{AB}$ bezeichnet.

Die Formel ist einfach zu merken: $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$. Du subtrahierst also den Startpunkt vom Endpunkt. Der Fußpunkt des Vektors ist dabei der Subtrahend (A) und die Spitze ist der Minuend (B).

Ein praktisches Beispiel: Wenn $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ sind, dann ist $\vec{ab} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Merksatz: Endpunkt minus Startpunkt = Verbindungsvektor. So einfach ist das!

Vielfaches eines Vektors

Manchmal brauchst du einen Vektor, der doppelt so lang ist oder nur halb so lang - das schaffst du durch Multiplikation mit einer Zahl! Du multiplizierst einfach jeden Eintrag des Vektors mit dieser Zahl.

Beispiel: $2\vec{a} = 2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$. Der Vektor wird länger, aber die Richtung bleibt gleich.

Bei $0,5\vec{a}$ wird der Vektor halbiert, bei $3\vec{a}$ verdreifacht. Multiplizierst du mit Null, erhältst du immer den Nullvektor. Alle diese Vektoren liegen auf einer geraden Linie - sie sind kollinear.

Cool zu wissen: Negative Zahlen drehen den Vektor um 180° - er zeigt dann in die entgegengesetzte Richtung!

Lineare Abhängigkeit

Wann sind Vektoren "Geschwister"? Wenn sie linear abhängig sind! Das bedeutet, sie sind parallel zueinander und liegen auf derselben Geraden.

Um zu prüfen, ob zwei Vektoren linear abhängig sind, verwendest du den Ansatz $\vec{a} = r \cdot \vec{b}$. Wenn du für alle Komponenten dieselbe Zahl r findest, sind sie abhängig.

Beispiel: $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 10 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$. Hier ist überall $r = 2$, also sind sie linear abhängig.

Bei drei Vektoren sind sie linear abhängig, wenn sie alle in derselben Ebene liegen. Das ist wichtig für Klausuren - nur wenn alle Werte für r gleich sind, hast du lineare Abhängigkeit!

Klausur-Tipp: Linear abhängig = parallel. Linear unabhängig = nicht parallel. So merkst du es dir am besten!