Mathematik

Flächenberechnungsmethoden mit Integralen

Fläche unter einer Kurve

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2. Feb. 2026

•

3 Seiten

Integralrechnung Lernzettel - Dein praktischer Mathematikhelfer

Målin

@just.molin

Die Integralrechnung hilft dir dabei, Flächeninhalte unter Kurven zu berechnen... Mehr anzeigen

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$Lemzettel: Integralrechnung Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung $\int f(x)dx = F(b)-F(a)$ F= Stamm funktion es gilt F'=f $\r$

Grundlagen der Integralrechnung

Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve berechnen - genau dafür brauchst du die Integralrechnung! Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist dein wichtigstes Werkzeug: ∫f(x)dx = F(b) - F(a).

Das F steht für die Stammfunktion - das ist quasi das Gegenteil vom Ableiten. Wenn F'(x) = f(x) ist, dann hast du die richtige Stammfunktion gefunden.

So bildest du Stammfunktionen: Bei f(x) = 3 wird F(x) = 3x. Bei f(x) = 4x² erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten: F(x) = 4/3 · x³. Die Regel ist simpel: Exponent +1, dann durch den neuen Exponenten teilen!

Tipp: Kontrolliere deine Stammfunktion immer durch Ableiten - wenn du wieder bei der ursprünglichen Funktion landest, hast du richtig gerechnet!

$Lemzettel: Integralrechnung Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung $\int f(x)dx = F(b)-F(a)$ F= Stamm funktion es gilt F'=f $\r$

Flächenberechnung mit Integralen

Manchmal liegt deine Fläche unterhalb der x-Achse - dann wird das Integral negativ! Kein Problem: Du verwendest einfach Betragsstriche, um aus dem negativen Wert einen positiven zu machen.

Bei Funktionen, die sowohl ober- als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, berechnest du die Teilflächen einzeln. Erst findest du die Nullstellen, dann integrierst du zwischen diesen Grenzen. Jede Teilfläche bekommst du durch Betragsstriche positiv.

Ein cleverer Trick: Bei symmetrischen Funktionen reicht es, eine Hälfte zu berechnen und das Ergebnis zu verdoppeln! Das spart dir Zeit und Rechenaufwand.

Merke dir: Negative Integralwerte bedeuten nur, dass die Fläche unter der x-Achse liegt - mit Betragsstrichen machst du sie positiv!

$Lemzettel: Integralrechnung Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung $\int f(x)dx = F(b)-F(a)$ F= Stamm funktion es gilt F'=f $\r$

Flächen zwischen zwei Funktionen

Hier wird's richtig spannend! Um die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen zu finden, bildest du die Differenzfunktion: h(x) = f(x) - g(x). Dabei ist es egal, welche Funktion du von welcher abziehst - die Betragsstriche am Ende sorgen für das richtige Ergebnis.

Zuerst bestimmst du die Schnittpunkte der beiden Funktionen (das sind die Nullstellen deiner Differenzfunktion). Diese werden zu deinen Integrationsgrenzen.

Dann integrierst du die Differenzfunktion zwischen diesen Grenzen und setzt Betragsstriche um das ganze Integral. So erhältst du immer einen positiven Flächeninhalt, egal wie die Funktionen zueinander liegen.

Praxis-Tipp: Zeichne dir die beiden Funktionen auf - so siehst du sofort, welche Fläche du berechnen sollst!

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Integralrechnung & Flächenberechnung

Entdecken Sie die Grundlagen der Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächen zwischen Graphen, Stammfunktionen und den Konzepten von Ober- und Untersummen. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen und praktische Beispiele, um das Verständnis zu vertiefen.

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