Kettenregel & Produktregel

Stell dir vor, du musst eine Funktion wie $x+2$⁴ ableiten – hier kommt die Kettenregel ins Spiel! Sie funktioniert immer dann, wenn eine Funktion aus einer äußeren und einer inneren Funktion besteht: f(x) = u(v(x)).

Die Formel ist eigentlich ganz logisch: f'(x) = u'(v(x)) · v'(x). Du leitest also zuerst die äußere Funktion ab und multiplizierst das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bei f(x) = $x+2$⁴ ist die äußere Funktion x⁴ und die innere x+2, wodurch f'(x) = 4$x+2$³ · 1 = 4$x+2$³ entsteht.

Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden: f(x) = u(x) · v(x). Die Formel lautet f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x). Ein typisches Beispiel ist f(x) = 3x · cos(x), was zu f'(x) = 3 · cos(x) + 3x · $-sin(x)$ wird.

Merktipp: Bei sin(x) und cos(x) wechseln sich die Ableitungen ab: sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → sin(x)...