Mathe Klausurvorbereitung Klasse 11: Ableitungen und Kurvendiskussion

Ableitungen und Extremstellen analysieren

Extremstellen findest du, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung suchst. Wenn f'$x$ = 0 ist, hat die ursprüngliche Funktion f$x$ an dieser Stelle ein Maximum oder Minimum.

Bei punktsymmetrischen Funktionen kannst du aus dem Graphen der Ableitung f' wichtige Schlüsse über die Originalfunktion ziehen. Zwei Nullstellen von f' bedeuten zwei Extremstellen von f.

Merktipp: Die Nullstellen der Ableitung werden zu den Extremstellen der ursprünglichen Funktion!

Schnittpunkte und Tangenten berechnen

Um Schnittpunkte mit der x-Achse zu finden, setzt du f$x$ = 0. Bei f$x$ = x² - 4x faktorisierst du zu x$x - 4$ = 0 und erhältst x = 0 und x = 4.

Für Tangentengleichungen brauchst du die Steigung an einem Punkt. Die Steigung ist f'(x₀), dann verwendest du die Punkt-Steigungsform: y = mx + b.

Die Wendestellenberechnung erfolgt über f''$x$ = 0. Bei f$x$ = x³ - 6ax² + 12 ist f''$x$ = 6x - 12a, und für eine Wendestelle bei x = -2 folgt a = -1.

Praxistipp: Kontrolliere deine Parameter immer durch Einsetzen!

Anwendungsaufgabe: Gateway Arch

Der Gateway Arch wird durch f$x$ = -2x² + 16x - 14 beschrieben. Diese Parabel öffnet sich nach unten, hat also ein Maximum.

Die maximale Höhe findest du am Scheitelpunkt: f'$x$ = 0 ergibt x = 4, und f(4) = 18. Die Höhe beträgt also 18 Meter.

Für die Breite berechnest du die Nullstellen: f$x$ = 0 gibt x₁ = 1 und x₂ = 7, also eine Breite von 6 Metern.

Realitätsbezug: Bei praktischen Problemen musst du oft Sicherheitsabstände mit einrechnen!

Grundlagen: Ableiten ohne Hilfsmittel

Potenzregel: Bei f$x$ = 2x³ + 5 ist f'$x$ = 6x² und f''$x$ = 12x. Die Konstante 5 fällt bei der ersten Ableitung weg.

Für Wurzelfunktionen schreibst du √x = x^$1/2$ und wendest die Potenzregel an: f'$x$ = $1/2$x^$-1/2$ = 1/(2√x).

Das Aufleiten ist die Umkehrung: Aus f'$x$ = 2x⁴ wird f$x$ = $2/5$x⁵ + C.

Verschiebungen der ursprünglichen Funktion um konstante Werte ändern die Ableitung nicht, da Konstanten beim Ableiten wegfallen.

Grundregel: Konstanten verschwinden beim Ableiten, Exponenten werden um 1 kleiner!