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Mathematik

Volumenberechnung und Raummessung

Volumen eines Zylinders

Mathe1.496Aktualisiert 18. Sept. 20263 Seiten

Grundlagen der Körperberechnung: Kreis, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel

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Sophie @sophie_szm
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Kreisberechnung und Körpergeometrie sind essentiell für deine Matheklausuren! Hier lernst du alle wichtigen Formeln für Kreise, Zylinder, Pyramiden und Kegel mit praktischen Beispielen, die dir zeigen, wie du die Rechnungen Schritt für Schritt löst.
Körperberechnungen – Seite 1

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Kreisberechnung und Zylinder

Kreisformeln sind überall im Alltag - von Pizzen bis hin zu Rohren! Der Kreisumfang berechnet sich mit u = 2·π·r oder u = π·d, während der Flächeninhalt A = π·r² beträgt.

Bei Kreisausschnitten (wie ein Tortenstück) teilst du den Winkel durch 360° und multiplizierst mit der Kreisfläche: A_α = α/360°α/360°·π·r². Der Kreisbogen funktioniert ähnlich: β_α = α/180°α/180°·π·r.

Zylinder bestehen aus zwei Kreisen und einem Mantel. Die Mantelfläche M = 2·π·r·h ist wie ein aufgerolltes Rechteck. Die Oberfläche O = 2·π·r² + 2·π·r·h addiert beide Kreise und den Mantel zusammen.

Tipp: Bei Zylinderaufgaben oft nach Radius oder Höhe gefragt - einfach die Formel nach der gesuchten Größe umstellen!

Körperberechnungen – Seite 2

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Zylinder und Pyramiden

Das Zylindervolumen V = π·r²·h zeigt, wie viel Flüssigkeit reinpasst. Um Radius oder Höhe zu finden, stellst du einfach um: h = V/(π·r²) oder r = √V/(π⋅h)V/(π·h).

Pyramiden haben eine Grundfläche und laufen spitz zu. Das Volumen beträgt immer V = 1/31/3·G·h - also ein Drittel von Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche G berechnest du je nach Form (Rechteck: a·b, Dreieck: 1/21/2·a·b).

Bei der Pyramiden-Oberfläche brauchst du die Seitenhöhen h_a und h_b. Diese findest du mit dem Satz des Pythagoras: Die Körperhöhe, halbe Grundkante und Seitenhöhe bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Merkhilfe: Pyramidenvolumen ist immer 1/3 vom entsprechenden Prisma - das macht die Formel einfacher zu merken!

Körperberechnungen – Seite 3

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Kegel und Kugel

Kegel sind wie spitze Hütchen mit einer runden Grundfläche. Die Mantellinie s verbindet Spitze und Grundkreis und lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen: s² = r² + h².

Die Kegeloberfläche O = π·r·r+sr + s setzt sich aus Grundkreis und Mantel zusammen. Das Kegelvolumen V = 1/31/3·π·r²·h ist wieder ein Drittel vom entsprechenden Zylinder.

Kugeln haben die kompakteste Form aller Körper. Das Kugelvolumen V = 4/34/3·π·r³ musst du auswendig lernen - es kommt garantiert in der Klausur dran!

Praxistipp: Bei Kegelaufgaben immer zuerst die Mantellinie s berechnen, dann kannst du Oberfläche und Volumen problemlos ausrechnen!

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