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Kombinatorische Auswahltheorie

Kombinatorik

Mathe1.464Aktualisiert 1. Okt. 20263 Seiten

Grundlagen der Kombinatorik in der Stochastik

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lilly@lilly
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Kombinatorik ist die Kunst des geschickten Abzählens - perfekt für alle, die wissen wollen, wie viele Möglichkeiten es wirklich gibt! Von Outfit-Kombinationen bis hin zu Lotto-Chancen lernt ihr hier die wichtigsten Regeln und Formeln kennen.
Kombinatorik - Stochastik – Seite 1

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Produktregel und Ziehen mit Zurücklegen

Die Produktregel ist euer Grundwerkzeug in der Kombinatorik. Wenn ihr mehrere unabhängige Entscheidungen hintereinander trefft, multipliziert ihr einfach die Anzahl der Möglichkeiten jeder Stufe. Bei Frau Müllers Outfit-Problem: 5 Kleider × 6 Schuhe × 3 Hüte = 90 verschiedene Looks.

Beim geordneten Ziehen mit Zurücklegen aus n Objekten k-mal hintereinander gilt die simple Formel: N = n^k. Das funktioniert, weil ihr nach jedem Zug alle Optionen wieder zur Verfügung habt.

Praktische Beispiele gefällig? Ein Zahlenschloss mit drei Rädchen hat 10³ = 1.000 Kombinationen, und beim Fußball-Toto mit 8 Spielen gibt es 3⁸ = 6.561 Möglichkeiten.

Merktipp: Bei Zurücklegen bleibt die Anzahl der Möglichkeiten pro Zug gleich - daher die Potenz!

Kombinatorik - Stochastik – Seite 2

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Ziehen ohne Zurücklegen und Fakultäten

Beim geordneten Ziehen ohne Zurücklegen wird's spannender: Mit jedem Zug habt ihr eine Option weniger. Die Formel lautet: N = n × n−1n-1 × n−2n-2 × ... × n−k+1n-k+1.

Wenn ihr alle n Objekte zieht n=kn = k, erhaltet ihr die Fakultät n!. Acht Schüler auf acht Plätze anordnen? Das sind 8! = 40.320 Möglichkeiten. Krass, oder?

Die Fakultät ist übrigens super praktisch: 7! = 5.040 könnt ihr easy mit dem Taschenrechner berechnen (Shift + x⁻¹).

Wichtig: Beim Anordnen ohne Zurücklegen sinkt die Anzahl der Optionen mit jedem Schritt!

Kombinatorik - Stochastik – Seite 3

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Binomialkoeffizient und ungeordnete Auswahl

Jetzt wird's richtig clever: Wenn die Reihenfolge egal ist, müsst ihr durch die Anzahl der Anordnungen teilen. Der Binomialkoeffizient macht genau das: (n über k) = n! / k!×(n−k)!k! × (n-k)!.

Lotto "6 aus 49" ist das perfekte Beispiel: (49 über 6) = 13.983.816 Möglichkeiten. Deshalb ist Lotto spielen mathematisch gesehen... nun ja, nicht die beste Investition.

Bei Permutationen mit Wiederholungen wie "aaaaabbb" teilt ihr durch die Fakultäten der wiederholt auftretenden Elemente. Die Formel: N = n! / (n₁! × n₂! × ... × nₛ!).

Symmetrie-Trick: (n über k) = nu¨bern−kn über n-k - das kann Rechnungen verkürzen!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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