Kompletter ZP10 Mathe Lernzettel – Zusammenfassung, Aufgaben & Formeln

Einheiten, Prozente & Zinsen

Einheiten umrechnen

Beim Wechsel der Einheit verschiebst du das Komma.

• Kleine in große Einheit: Komma nach links verschieben.
• Große in kleine Einheit: Komma nach rechts verschieben.
• Wichtige Volumina: $1\text{ dm}^3 = 1\text{ l}$ und $0,001\text{ dm}^3 = 1\text{ ml}$.

Prozent- & Zinsrechnung

Kapital und Zinsen berechnen, auch für Bruchteile des Jahres.

• Zinseszins: Formel lautet $K_n = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$.
• Tageszinsen: Berechnet mit $Z = \frac{K \cdot p \cdot t}{360}$ (Bankjahr hat 360 Tage).

💡 Tipp: Multipliziere für Prozentwerte einfach mit der Dezimalzahl, z. B. $30\,\%$ von $90\text{ €}$ rechnest du als $90 \cdot 0,3 = 27\text{ €}$.

Potenzen, Wurzeln & Schreibweisen

Potenzgesetze & Schreibweise

Große und kleine Zahlen kompakt darstellen und vereinfachen.

• Wissenschaftlich: $5,2 \cdot 10^3 = 5200$ und $5,2 \cdot 10^{-3} = 0,0052$.
• Gleiche Basis: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ und $x^a : x^b = x^{a-b}$.
• Negativer Exponent: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ und $(\frac{x}{a})^{-n} = (\frac{a}{x})^n$.

Wurzeln berechnen

Die Umkehrung des Potenzierens für Berechnungen nutzen.

• n-te Wurzel: $\sqrt[n]{x}$ sucht die Zahl, die hoch $n$ den Wert $x$ ergibt.
• Rechenregeln: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ und $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$.

💡 Tipp: Aus negativen Zahlen kannst du im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzel ziehen.

Terme, binomische Formeln & Gleichungen

Rechengesetze & Klammern

Terme vereinfachen und systematisch auflösen.

• Minusklammer: Ein Minus vor der Klammer dreht alle Vorzeichen darin um.
• Binomische Formeln: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ und $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Bruchterme & Gleichungen

Gleichungen aufstellen und mathematische Definitionslücken finden.

• Definitionsmenge: Der Nenner eines Bruchs darf niemals Null werden.
• Kreuzmultiplikation: Löst Brüche auf, indem du über Kreuz multiplizierst.

Beispiel: Bestimme die Definitionsmenge für $\frac{3}{x-7} = 7$.

• Setze Nenner Null: $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$.
• Ergebnis: $D = \mathbb{R} \setminus \{7\}$.

💡 Tipp: Denke immer an die Vorrangregel: Klammer vor Punkt, Punkt vor Strich.

Gleichungssysteme & Lineare Funktionen

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten systematisch lösen.

• Additionsverfahren: Variablen durch passendes Multiplizieren und Addieren eliminieren.
• Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach $x$ oder $y$ auflösen und in die andere einsetzen.
• Lösbarkeit: Es gibt genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Lineare Funktionen

Geraden im Koordinatensystem darstellen und bestimmen.

• Funktionsgleichung: $f(x) = mx + b$ mit Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $b$.
• Zwei-Punkte-Formel: Steigung berechnen über $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

💡 Tipp: Zeichne Steigungen $m = \frac{1}{3}$ als Steigungsdreieck: 3 Einheiten nach rechts, 1 nach oben.

Quadratische Funktionen

Formen & Parameter

Parabeln verschieben, strecken und stauchen.

• Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^2 + e$ mit Scheitelpunkt $S(d|e)$.
• Parameter $a$: Bei $a > 1$ gestreckt, bei $a < 1$ gestaucht. Minus spiegelt an der x-Achse.
• Verschiebung: $d$ verschiebt nach links/rechts, $e$ verschiebt nach oben/unten.

Umformungen

Zwischen Scheitelpunktform, Normalform und faktorisierter Form wechseln.

• Normalform: Erhältst du durch Ausmultiplizieren: $f(x) = ax^2 + bx + c$.
• Quadratische Ergänzung: Bringt die Normalform in die Scheitelpunktform.

Beispiel: Bringe $f(x) = x^2 + 6x + 2$ in die Scheitelpunktform.

• Ergänzung $(\frac{6}{2})^2 = 9$: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 2$.
• Binomische Formel: $f(x) = (x+3)^2 - 7$.

💡 Tipp: Achte beim Einsetzen in $(x-d)^2$ auf das Vorzeichen: Ein positives $d$ verschiebt nach rechts.

Gleichungen aufstellen & lösen

Funktionsgleichungen bestimmen

Gleichungen aus gegebenen Punkten rekonstruieren.

• Scheitelpunkt & Punkt: $S$ in Scheitelpunktform einsetzen, $P$ einsetzen, nach $a$ auflösen.
• Zwei Punkte & $c$: Punkte einsetzen, LGS für $a$ und $b$ lösen.

Quadratische Gleichungen lösen

Nullstellen und Schnittpunkte berechnen.

• Ausklammern: Nutze $x(x+3) = 0$ bei Gleichungen der Form $ax^2 + bx = 0$.
• Satz von Vieta: Schnelle Linearfaktorzerlegung über $x_1 + x_2 = -p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$.

Beispiel: Löse $3x^2 - 12 = 0$.

• Isoliere $x^2$: $3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4$.
• Wurzel ziehen: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

💡 Tipp: Ist der Radikand (Wert unter der Wurzel) negativ, hat die Gleichung keine reelle Lösung.

Exponentialfunktionen & Logarithmus

Exponentialfunktionen

Prozesse mit prozentualer Zu- oder Abnahme beschreiben.

• Funktionsgleichung: $f(x) = a \cdot q^x$ mit Anfangswert $a$ und Wachstumsfaktor $q$.
• Wachstumsfaktor: $q = 1 + \frac{p}{100}$ (Wachstum) oder $q = 1 - \frac{p}{100}$ (Zerfall).
• Halbwertszeit: Berechnet sich über den Ansatz $0,5 = 1 \cdot q^x$.

Der Logarithmus

Gleichungen lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht.

• Definition: $x^n = y \Leftrightarrow n = \log_x(y)$.

Beispiel: Löse die Gleichung $2^x = 8$.

• Umformen: $x = \log_2(8)$.
• Ergebnis: $x = 3$, da $2^3 = 8$.

💡 Tipp: Der Wachstumsfaktor $q$ ist bei Abnahme- und Zerfallsprozessen immer kleiner als 1.

Geometrie der Ebene

Kreise & Kreisteile

Flächen und Linien rund um den Kreis berechnen.

• Kreis: Flächeninhalt $A = \pi \cdot r^2$ und Umfang $U = 2 \cdot \pi \cdot r$.
• Kreissektor: Ausschnitt mit $A = \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360}$.
• Kreisring: Fläche zwischen zwei Kreisen berechnen über $A = \pi \cdot r_1^2 - \pi \cdot r_2^2$.

Vierecke & Dreiecke

Die wichtigsten Standardformeln für ebene Figuren.

• Parallelogramm: Flächeninhalt berechnen mit $A = g \cdot h$.
• Trapez: Mittellinie nutzen für den Flächeninhalt $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$.

💡 Tipp: Für den Umfang addierst du einfach immer alle äußeren Begrenzungslinien der Figur.

Körper, Ähnlichkeit & Strahlensätze

Körperberechnungen

Rauminhalte und Oberflächen von 3D-Objekten ermitteln.

• Prisma & Zylinder: Volumen $V = G \cdot h_k$ und Oberfläche $O = 2 \cdot G + M$.
• Spitze Körper: Pyramide und Kegel besitzen das Volumen $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_k$.
• Kugel: Volumen $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ und Oberfläche $O = 4 \cdot \pi \cdot r^2$.

Zentrische Streckung & Strahlensätze

Verhältnisse an sich schneidenden Geraden und Parallelen nutzen.

• 1. Strahlensatzt: Verhältnisse auf den Strahlen: $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$.
• 2. Strahlensatz: Verhältnis mit den Parallelen: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{SA'}{SA}$.

💡 Tipp: Beim 2. Strahlensatz musst du immer die Parallelen mit den Strahlabschnitten ab dem Zentrum $S$ vergleichen.

Zentrische Streckung & Trigonometrie

Zentrische Streckung

Figuren maßstäblich vergrößern, verkleinern oder spiegeln.

• Streckfaktor $k$: Vergrößert für $k > 1$, verkleinert für $k < 1$.
• Negatives $k$: Die Bildfigur wird auf die andere Seite des Zentrums $S$ projiziert.
• Eigenschaften: Winkel bleiben immer gleich groß, Bildseiten sind $k$-mal so lang.

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Seitenverhältnisse über Winkel bestimmen.

• Sinus: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
• Kosinus: $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$.
• Tangens: $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$.

💡 Tipp: Die Hypotenuse liegt im rechtwinkligen Dreieck immer direkt gegenüber dem rechten Winkel.