Eine verständliche Erläuterung der Exponentialfunktion (Ableiten, Zuordnen, Lösen), der natürlichen Logarithmen und Funktion sowie der Produkt- und Kettenregel. Enthält nützliche Beispiele und Hilfestellungen zu Berechnungen.

Deutsch

zum Thema Exponentialfunktionen (Aufstellen, Zuordnen, Lösen), natürliche Exponentialfunktion (Ableiten der e Funktion, der natürliche Logarithmus, zuordnen von Graphen) sowie Produkt- und Kettenregel. Auch andere  notwendige Rechnungen.

Vertiefte Lernhilfe zu Exponentialfunktionen, einschließlich exponentiellem Wachstum und Abnahme, Ableitungen natürlicher Exponentialfunktionen sowie Anwendung der Produkt- und Kettenregel. Ideal für Studierende der Mathematik, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.

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<p>Exponentialfunktionen begegnen dir überall – beim Bakterienwachstum, beim radioaktiven Zerfall oder bei Zinsen auf deinem Sparkonto. Mit der Grundform f(x) = c · aˣ kannst du alle diese Phänomene mathematisch beschreiben und berechnen.</p>


Lernhilfe zu Exponentialfunktionen: Theorie und Ableitungsregeln

Funktionen und analysis

Exponentialfunktion

E funktion

Mathe-Lernzettel
Exponentialfunktionen
- f(x) = c •a^x
- c => der Bestand zum Zeitpunkt O (Startpunkt)
- a => Wachstumsfaktor (a>1 -> exponentielle Zunahme; a<1 -> exponentielle Abnahme)
Beispiele:
Exponential funktion aufstellen:
Zwei Punkte:
Einsetzen
I
I
Gewünschte Gleichung:
.P (014)
4= Ca
0₁5 = c.aª
Einsetzen
0₁5=4· a
0₁125 = a4
0,595 ~ a
der
von
Aufschreiben
f(x = 4·0,59*
=
·p(x) = (•a*
Punkte in die Gleichung:
= C. 1 = C
⇒ c = 4
4 Startpunkt.
Q(4,05)
1:4
I√
c=4 in I:
Wie groß ist die Population nach 10 Tagen? ( f(x)=2.1,05^x, Tiere in Tagen)
f (स०)
1,053
Zuordnen von Graphen
der Funktion:
= 2:11
~ 3,3
Nach wie vielen Tagen umfasst die Population 50 Tiere?
50 = 21,05* 1:2
25 =
1,05*
1 log
10g₁₁0s (25) = 66
f(x) = 2x
g(x) = 20.8%
h(x) = 2 - 0.5*
p(x)
= 2. 1.25*
q(x) = 2. 2x
-> c gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (wenn kein Wert für c
angegeben ist, ist dieser 1)
-> je steiler der Graph ist desto größer ist a (bei a>1) Die natürliche Exponential funktion e
- f(x) = e^x
- e= 2,718...
- für f(x)= e^x glit:
1. f'(x)= e^x
2. F(x)= e^x
Ableiten der e Funktion:
1. f(x)=ek.x
f(x)=e4x
2. f(x)=e
f(x) = e
3. f(x) = ax
f(x) = 5x
k.x
4x
Beispiel:
f(x) = 5.4*
·=·5· cln (4) x
-In (a)
1. e
Beispiel:
10 = ex
- man schreibt x = ln(b)
- es glit:
2. (ne (a) =
'f'(x)= 5. In (4). e)
f"(x) = 5. (In (4))². In (4).x
Der natürliche Logarithmus
- für eine positive Zahl b heißt die Lösung x der Exponential funktion e^x=b der natürliche
Logarithmus von b
= a
-1.5
f'(x) = u.e
f'(x) = 4e"
fa
-1
.
F(x) = ² ek.x.
仄
F(x) = =·
ux
I'n
x = 1₁ (10) = 2,3
f(x)= e
In(a):x
f(x) = n(5).x
e
-0.5
Zuordnen von Graphen:
- für c < 0 wird der Graph an der y-Achse gespiegelt
- für c < 0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt
- für f(x) = c • a^kx ist (Olc) der Schnittpunkt mit der y-Achse
- für k > 1 wird der Graph gestreckt (verläuft steiler)
für 0 < lkl < 1 wird der Graph gestaucht (verläuft flacher)
0.5
u.x
In (4).X.
0
-0.5
4x
-1.5
0.5
1.5
O f(x) = ex
g(x) = ex
h(x) = -e*
P(x) =
q(x) = e²x
r(x) = 2*
2 Exponential funktionen im Sachzusammenhang:
exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme liegt immer dann vor, wenn ein
Bestand je Zeiteinheit um den gleichen Faktor a zu- bzw. abnimmt
- für exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme gilt die Gleichung f(x)= f(0) • a^x
oder f(x)= f(0)• e^In(a).x
=> Startwert; Wachstumsfaktor; Zeit
- Die Zeit, in der sich der Anfangsbestand verdoppelt bzw. halbiert nennt man
Verdopplungszeit bzw Halbwertszeit
=> es gilt: Tv =
k
Allgemeines:
Tangenten berechnen:
f(x) = 1,5x
=en(45).x
und TH = In (0,5)
A(1.11,5)
Bilden der ersten Ableitung
In (1,5).x
f'(x)= in (1,5).e"
x-Wert des Punkts in die Ableitung einsetzen
M
zu
er mitteln
steigung
f'(1) =
) = In (1,5) (in (1; 5). 1.
~0,608
y-Achsenabschnitt
t(x) = mx + n.
t(x) ~ 0, 608 x + n
1,5= 0,608 1 + n
↳ A(111, 5)
8,892.n
1-0,608
Aufschreiben der Formel:
€(x) = 0,608 x + 0,892
Integrale berechnen:
48
f(x): =e 1 = [0₁3]
F(x) = = e`
4x
Ş √ (e²^)ox = [² e^^]
(43) - (²40)
= 40.688, 4. FE
Mittlereänderungsrate:
3(e) dx = 13.562, 8 FE
um die
3 Produkt und Kettenregel
Produktregel:
·f = u:v
f' = u'•v +u.v².
Beispiele:
f(x) = 2x (4x-1)
f'(x) = 2.(4x-1) + 2x. 4.
=16x-2
Kettenregel:
f = u(v)
(²=u! (v). v!
Beispiele:
x 3
f(x)= e
f'(x)=e*³³+3x²
('(x).
Kombination (Beispiel):
f(x) = x²³
(Muss verwendet werden sobald
die Potenz im Exponenten höher
als 1 ist).
f(x) = (x+3).ex
f'(x) = 1.ex + (x+3).ex
((x)= (x²+6)7
+²(x) = 7⋅ (x² +676.2x
Projuurregel
3x².exy
त्रप
+
Kettenregel müss
x³ 4x³.
m="
끊
↑
f(x)=√√√3x²+5 = ( 3 x² + 5) ²
f'(x) = ²/²2 (3x² + 5) = ² · 6x
angewendet werden
4

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