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Mathematik

Klassifikation der reellen Zahlen

Irrationale Zahlen

MatheMathe377 aufrufe·Aktualisiert 8. Sept. 2026·3 Seiten

Mathe Lernzettel: Wurzeln, Pythagoras und mehr

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Xenia Seldenreich@xeniaseldenreic

Die Welt der Mathematik steckt voller faszinierende Zahlen und Rechenregeln,...

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Lernzettel Mathe Wurzeln und Pythagoras – Seite 1

Zahlenarten und Wurzelberechnung

Zahlen kommen in verschiedenen Formen vor. Rationale Zahlen können als Bruch dargestellt werden, während irrationale Zahlen unendlich viele Nachkommastellen haben, die sich nicht periodisch wiederholen. Zusammen bilden sie die reellen Zahlen.

Bei der Intervallschachtelung grenzt du die gesuchte Zahl immer weiter ein, indem du eine untere und obere Grenze setzt und diese schrittweise verfeinerst. Das Heron-Verfahren ist eine praktische Methode, um Quadratwurzeln näherungsweise zu berechnen: Du wählst Zahlen, die multipliziert das Ergebnis ergeben, und verfeinerst durch wiederholtes Berechnen.

Die Wurzel ist die Umkehrung des Quadrierens. Wenn du also wissen willst, welche Zahl mit sich selbst multipliziert 9 ergibt, suchst du die Quadratwurzel von 9, also 3. Das Ergebnis einer Wurzel ist entweder eine natürliche oder eine irrationale Zahl.

💡 Merke: Bei Wurzeln gilt immer (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a für alle a≥0a ≥ 0. Die Wurzel funktioniert nur bei nicht-negativen Zahlen!

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Lernzettel Mathe Wurzeln und Pythagoras – Seite 2

Wurzelgesetze und der Satz des Pythagoras

Mit Wurzeln kannst du nach bestimmten Regeln rechnen. Beim Multiplizieren gilt: a⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}. Beim Dividieren gilt: ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}. Diese Gesetze helfen dir, komplizierte Wurzelausdrücke zu vereinfachen.

Beim Addieren und Subtrahieren von Wurzeln ist es wichtig, dass der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) gleich ist. Dann gilt: ax+bx=(a+b)xa\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} und ax−bx=(a−b)xa\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a-b)\sqrt{x}.

Der Satz des Pythagoras ist ein wichtiges Werkzeug für rechtwinklige Dreiecke: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, wobei aa und bb die Katheten und cc die Hypotenuse sind. Mit ihm kannst du fehlende Seiten berechnen oder prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.

🔍 Tipp: Der Kathetensatz erweitert den Satz des Pythagoras und sagt: b2=c⋅qb^2 = c \cdot q und a2=c⋅pa^2 = c \cdot p, wobei pp und qq die Hypotenusenabschnitte sind.

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Lernzettel Mathe Wurzeln und Pythagoras – Seite 3

Prozentrechnung und lineare Funktionen

Bei der Prozentrechnung arbeitest du mit dem Grundwert (G), dem Prozentwert (W) und dem Prozentsatz (p%). Der Zusammenhang lautet: W=p%⋅G100W = \frac{p\% \cdot G}{100}. Die Einheiten von W und G müssen gleich sein.

In der Bruchrechnung ist wichtig: Beim Addieren und Subtrahieren brauchst du gleiche Nenner, beim Multiplizieren und Dividieren verrechnet man die Nenner mit.

Lineare Funktionen haben die Form y=mx+by = mx + b, wobei mm die Steigung und bb der y-Achsenabschnitt ist. Bei senkrechten Funktionen ist die Steigung der negative Kehrwert der ursprünglichen Steigung. Parallele Funktionen haben die gleiche Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte.

🌟 Praxistipp: Mit den binomischen Formeln (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 und (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 kannst du viele algebraische Ausdrücke vereinfachen!

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Xenia Seldenreich@xeniaseldenreic

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Wurzelgesetze und der Satz des Pythagoras

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Beim Addieren und Subtrahieren von Wurzeln ist es wichtig, dass der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) gleich ist. Dann gilt: ax+bx=(a+b)xa\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} und ax−bx=(a−b)xa\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a-b)\sqrt{x}.

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