Mathe ZP10 NRW Gymnasium Lernzettel

Einheiten umrechnen und Zahlen vergleichen

Beim Umrechnen von Einheiten ist die richtige Zehnerpotenz entscheidend. Für Längen, Flächen, Volumen und Zeiten gibt es spezifische Umrechnungsfaktoren:

• Bei Längen: 1 m = 100 cm = 1000 mm
• Bei Flächen: 1 m² = 10000 cm²
• Bei Volumen: 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L

Beim Zahlenvergleich musst du beachten:

• Negative Zahlen sind kleiner als positive Zahlen
• Brüche kannst du in Dezimalzahlen umrechnen: $\frac{5}{6} = 5 : 6 ≈ 0,83$

Tipp: Um Zahlen schnell zu vergleichen, wandle sie in dieselbe Form um - entweder alle als Dezimalzahlen oder alle als Brüche.

Bei gemischten Aufgaben mit Brüchen, Dezimalzahlen und negativen Zahlen solltest du systematisch vorgehen und alle Werte in ein einheitliches Format bringen.

Prozent- und Zinsrechnung

Die Prozentrechnung gehört zu den Grundlagen und kommt im Alltag häufig vor. Die wichtigsten Begriffe sind:

• G = Grundwert (der Gesamtwert, 100%)
• W = Prozentwert (der gesuchte Teil)
• P = Prozentsatz (in Prozent, z.B. 20%)

Die Grundformel lautet: W = G · P

• Beispiel: G = 420 kg, P = 80% = 0,8 → W = 420 · 0,8 = 336 kg

Bei der Zinsrechnung arbeitest du mit ähnlichen Begriffen:

• K = Kapital (Ausgangsbetrag)
• Z = Zinsen (Ertrag)
• P = Zinssatz (in Prozent)

Für Jahreszinsen gilt: Z = K · P

Bei Zinseszins wächst das Kapital nach der Formel: Kₙ = K₀ · $1+P$ⁿ

Merke dir: Bei der Prozent- und Zinsrechnung ist es wichtig, den Prozentsatz als Dezimalzahl zu verwenden $z.B. 3$.

Potenzen und Wurzeln

Potenzen sind eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation:

• aⁿ = a · a · ... · a $n-mal$ für n > 0
• a⁰ = 1 für n = 0
• a⁻ⁿ = $\frac{1}{a^n}$ für n < 0

Die wissenschaftliche Schreibweise verwendet Potenzen, um sehr große oder kleine Zahlen darzustellen:

• 3710 = 3,71 · 10³
• 0,023 = 2,3 · 10⁻²

Die wichtigsten Potenzgesetze:

1. aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
2. aᵐ · bᵐ = (a · b)ᵐ
3. (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ

Wurzeln sind der Umkehrschritt zum Potenzieren:

• b² = y ⟺ b = √y

Bei der Arbeit mit Wurzeln helfen diese Gesetze:

1. √a · √b = √(a·b)
2. $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
3. (√a)ᵐ = a$^{\frac{m}{n}}$

Praxistipp: Beim Vereinfachen von Wurzelausdrücken hilft es, nach Faktoren zu suchen, die eine Quadratzahl sind: √56 = √(4·14) = 2·√14

Terme und Gleichungen

Terme sind mathematische Ausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Beim Vereinfachen von Termen sammelst du gleichartige Summanden:

• a - 2b + b - 3a + b = -2a + 0b = -2a
• 2x - 3$2x + 4$ + 5x - 6 = 2x - 6x - 12 + 5x - 6 = x - 18

Lineare Gleichungen enthalten Variablen nur in der ersten Potenz. Bei der Lösung isolierst du die Variable:

• 3x + 4 = 4x + 31 - 4x → 3x - 0 = 31 - 0 → 3x = 31 → x = $\frac{31}{3}$

Bei linearen Gleichungssystemen (LGS) mit zwei Unbekannten hast du drei Lösungsmethoden:

1. Additionsverfahren: Bringe Gleichungen in eine Form, bei der durch Addition eine Variable verschwindet.

2. Einsetzungsverfahren:

   • Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf
   • Setze diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein
   • Löse die entstandene Gleichung mit nur einer Variablen

3. Gleichsetzungsverfahren:

   • Stelle beide Gleichungen nach derselben Variablen um
   • Setze die Ausdrücke gleich

Wichtig: Führe immer eine Probe durch, um deine Lösung zu überprüfen!

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen können höchstens zwei Lösungen haben. Sie lassen sich in verschiedenen Formen darstellen:

• Normalform: x² + px + q = 0
• Allgemeine Form: ax² + bx + c = 0
• Faktorisierte Form: ax-n$$x-m = 0

Einfache quadratische Gleichungen kannst du lösen durch:

• Faktorisieren: x-2$$x-3 = 0 → x = 2 oder x = 3
• Ausklammern: x² - 7x = 0 → x$x-7$ = 0 → x = 0 oder x = 7
• Wurzelziehen (wenn b fehlt): x² = 8 → x = ±√8

Für komplexere Gleichungen nutzt du die pq-Formel:

• x₁₂ = -$\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

Die Diskriminante D = $(\frac{p}{2})^2-q$ entscheidet über die Anzahl der Lösungen:

• D > 0: zwei Lösungen
• D = 0: eine Lösung
• D < 0: keine reelle Lösung

Exponentialgleichungen haben die Variable im Exponenten. Beispiel: 2ˣ = 8 → x = 3

Der Logarithmus hilft beim Lösen von Exponentialgleichungen:

• logₙ$b$ = x bedeutet nˣ = b

Merke dir: Bei quadratischen Gleichungen führt eine systematische Herangehensweise am schnellsten zum Ziel - erkenne die Form und wähle die passende Lösungsstrategie.

Funktionen und Zuordnungen

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Funktionen können als Term, Wertetabelle, Graph oder in Wortform dargestellt werden.

Bei einer Proportionalität gilt:

• Ist x n-mal so groß, ist auch y n-mal so groß
• Quotientengleichheit: $\frac{y}{x}$ = konstant
• Graph ist eine Ursprungsgerade

Bei einer Antiproportionalität gilt:

• Ist x n-mal so groß, ist y $\frac{1}{n}$-mal so groß
• Produktgleichheit: x·y = konstant
• Graph ist eine Hyperbel

Lineare Funktionen haben die Form f$x$ = mx + b:

• m ist die Steigung der Geraden
• b ist der y-Achsenabschnitt

Steigung berechnen: m = $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Punkt-Steigungsform: f$x$ = m$x-xₚ$ + yₚ

Für die Nullstelle gilt: f$x$ = 0 → mx + b = 0 → x = -$\frac{b}{m}$

Praxistipp: Um schnell von einer Funktionsgleichung zum Graphen zu kommen, bestimme erst die Nullstelle$n$ und den y-Achsenabschnitt.

Quadratische und Exponentialfunktionen

Quadratische Funktionen haben die Normalform f$x$ = ax² + bx + c:

• a: Streckfaktor (a > 0: Parabel öffnet nach oben, a < 0: nach unten)
• b: Tangentensteigung beim y-Achsenabschnitt
• c: y-Achsenabschnitt

Die Scheitelpunktform f$x$ = a$x-d$² + e zeigt direkt den Scheitelpunkt S(d|e):

• Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Senkrechten durch S
• Der Scheitelpunkt ist der tiefste (a > 0) oder höchste (a < 0) Punkt

Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform:

1. a ausklammern
2. Quadratische Ergänzung
3. Umformen zur Scheitelpunktform

Exponentialfunktionen beschreiben exponentielles Wachstum oder Abnahme:

• B$t$ = B(0) · qᵗ (B(0): Anfangswert, q: Wachstumsfaktor, t: Zeit)
• q > 1: Wachstum (z.B. q = 1,05 für 5% Zunahme)
• 0 < q < 1: Abnahme (z.B. q = 0,7 für 30% Abnahme)

Sinusfunktionen schwanken periodisch zwischen -1 und 1. Sie beschreiben Schwingungsvorgänge und Wellen.

Wichtig: Jede Parabelform hat ihre Vorteile - die Normalform zeigt den y-Achsenabschnitt, die Scheitelpunktform zeigt den höchsten/tiefsten Punkt.

Flächen und Körper

Flächeninhalte und Umfänge:

• Quadrat: A = a², U = 4a
• Rechteck: A = a·b, U = 2a + 2b
• Dreieck: A = $\frac{g·h}{2}$, U = a + b + c
• Parallelogramm: A = g·h, U = 2$a+b$
• Trapez: A = $\frac{a+c}{2}$·h, U = a + b + c + d

Körper und ihre Eigenschaften:

• Würfel: V = a³, O = 6a²
• Quader: V = a·b·c, O = 2(ab + ac + bc)
• Prisma: V = G·h, O = G + M (G: Grundfläche, M: Mantelfläche)
• Zylinder: V = πr²·h, O = 2πr² + 2πrh
• Pyramide: V = $\frac{1}{3}$G·h, O = G + M
• Kegel: V = $\frac{1}{3}$πr²·h, M = πrs
• Kugel: V = $\frac{4}{3}$πr³, O = 4πr²

Kreisberechnungen:

• Radius r, Durchmesser d = 2r
• Flächeninhalt A = πr²
• Umfang U = 2πr

Für Kreissektor mit Winkel α (in Grad):

• Flächeninhalt A = $\frac{α}{360}$·πr²
• Kreisbogen b = $\frac{α}{360}$·2πr

Tipp für die Praxis: Lerne die grundlegenden Formeln auswendig - sie sind die Basis für komplexere Berechnungen.

Zentrische Streckung und Trigonometrie

Ähnlichkeit und zentrische Streckung: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie maßstäblich vergrößert oder verkleinert wurden. Der Streckfaktor gibt das Verhältnis zwischen neuer und alter Seitenlänge an.

Bei der zentrischen Streckung wird jeder Punkt der Figur um den Streckfaktor vom Streckzentrum aus abgetragen.

Die Strahlensätze beschreiben Verhältnisse bei ähnlichen Dreiecken:

1. Erster Strahlensatz: $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$
2. Zweiter Strahlensatz: $\frac{AB'}{AB} = \frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB}$

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck:

• sin(α) = $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• cos(α) = $\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• tan(α) = $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Für allgemeine Dreiecke gelten:

• Sinussatz: $\frac{a}{\sin(α)} = \frac{b}{\sin(β)} = \frac{c}{\sin(γ)}$
• Kosinussatz: a² = b² + c² - 2bc·cos(α)

Wichtig: Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes für rechtwinklige Dreiecke.

Stochastik

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit gilt für Zufallsversuche, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind: P(E) = $\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Wichtige Begriffe:

• Absolute Häufigkeit: Anzahl (natürliche Zahlen)
• Relative Häufigkeit: Anteil (rationale Zahlen zwischen 0 und 1)
• Wahrscheinlichkeit: Erwartungswert (zwischen 0 und 1)

Baumdiagramme helfen, mehrstufige Zufallsexperimente zu visualisieren.

Die Vierfeldertafel eignet sich zur Darstellung von zwei gleichzeitig untersuchten Merkmalen:

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A): Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist: P(B|A) = $\frac{P(A∩B)}{P(A)}$

Denk daran: In der Stochastik ist die korrekte Interpretation von Wahrscheinlichkeiten entscheidend - überlege genau, was gefragt ist!