Power Functions Study Guide

Symmetrie bei Potenzfunktionen

Achsensymmetrie bedeutet, dass du den Graphen an der y-Achse spiegeln kannst und er sieht genauso aus. Das passiert bei Funktionen mit geraden Exponenten wie $f(x) = x^2$ oder $f(x) = x^4$.

Punktsymmetrie findest du bei ungeraden Exponenten. Hier kannst du den Graphen am Ursprung (0|0) spiegeln - typisch für Funktionen wie $f(x) = x^3$.

Die Quadranten zählst du gegen den Uhrzeigersinn, beginnend oben rechts: I, II, III, IV. Das hilft dir beim Skizzieren der Graphen enorm!

Tipp: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie

Verhalten verschiedener Potenzfunktionen

Bei positiven Exponenten verhält sich der Graph relativ vorhersagbar. Gerade Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade punktsymmetrisch.

Negative Exponenten bringen Asymptoten ins Spiel! Sowohl die x-Achse als auch die y-Achse werden zu Asymptoten. Der Graph nähert sich diesen Achsen immer weiter an, berührt sie aber nie.

Die Symmetrie bleibt auch hier bestehen: gerade negative Exponenten sind achsensymmetrisch, ungerade negative Exponenten punktsymmetrisch.

Merke: Asymptoten sind wie unsichtbare Barrieren - der Graph kommt immer näher, erreicht sie aber nie!

Transformationen von Funktionen

Streckungen und Stauchungen machst du mit dem Faktor vor der Funktion: $g(x) = a \cdot f(x)$. Ist $a > 1$, wird gestreckt. Ist $0 < a < 1$, wird gestaucht. Bei negativem $a$ wird zusätzlich gespiegelt.

Verschiebungen nach oben/unten funktionieren durch Addieren: $g(x) = f(x) + b$. Positives $b$ schiebt nach oben, negatives nach unten.

Verschiebungen nach links/rechts sind etwas tricky: $g(x) = f(x + b)$. Achtung - positives $b$ verschiebt nach links, negatives nach rechts! Das ist oft verwirrend, aber mit Übung wird's automatisch.

Eselsbrücke: Bei horizontalen Verschiebungen ist alles umgekehrt - plus bedeutet links!

Lineares vs. exponentielles Wachstum

Lineares Wachstum ist simpel: Pro Zeitraum kommt immer der gleiche feste Betrag dazu. Die Formel lautet $f(t) = m \cdot t + b$, wobei $b$ der Startwert ist.

Exponentielles Wachstum ist viel dramatischer! Hier kommt pro Zeitraum ein fester Prozentsatz dazu. Die Formel ist $f(t) = c \cdot a^t$, wobei $c$ der Anfangswert und $a$ der Wachstumsfaktor ist.

Der Zinses-Zins-Effekt ist das perfekte Beispiel: Bei 5% Zinsen wird aus dem Faktor 1,05. Exponentielles Wachstum startet langsam, explodiert aber später richtig!

Faustregel: Lineares Wachstum = Addition, exponentielles Wachstum = Multiplikation

Parameter berechnen

Um t zu berechnen, setzt du die gewünschte Zielgröße in die Gleichung ein und löst nach t auf. Bei $4000 = 3000 \cdot 1,04^t$ erhältst du $t ≈ 7,33$.

Den Anfangswert c findest du, indem du einen bekannten Punkt einsetzt. Bei $7000 = c \cdot 1,04^{10}$ rechnest du $c = 7000 : 1,48 ≈ 4729,73$.

Den Wachstumsfaktor a ermittelst du ähnlich. Aus $7000 = 6000 \cdot a^5$ wird $a^5 = \frac{7}{6}$, also $a ≈ 1,03$.

Tipp: Immer systematisch vorgehen - erst einsetzen, dann umformen, dann berechnen!

Exponentialfunktion aus zwei Punkten

Mit zwei Punkten kannst du jede Exponentialfunktion $f(x) = c \cdot a^x$ komplett bestimmen. Bei den Punkten (0|3) und (1|12) gehst du so vor:

Schritt 1: Ersten Punkt einsetzen. Da $a^0 = 1$ ist, erhältst du direkt $c = 3$.

Schritt 2: Zweiten Punkt einsetzen. Aus $12 = 3 \cdot a^1$ folgt $a = 4$.

Schritt 3: Zusammenfügen zu $f(x) = 3 \cdot 4^x$. Fertig!

Profi-Trick: Beginne immer mit dem Punkt, der x = 0 enthält - das macht die Rechnung viel einfacher!