Lineare Funktionen: Grundlagen und Anwendungen leicht gemacht

Nullstellen und Achsenabschnitte

Jede lineare Funktion hat eine Nullstelle - der Punkt, wo der Graph die x-Achse schneidet. Um sie zu finden, setze f$x$ = 0 und löse nach x auf.

Bei f$x$ = 4x+5 rechnest du so: 0 = 4x+5 -5 = 4x -1,25 = x

Die Nullstelle liegt also bei S$-1,25|0$. Der y-Achsenabschnitt ist der Wert von b in der Gleichung f$x$ = mx+b. Bei unserer Funktion ist das S(0|5).

Um aus zwei Punkten eine Funktionsgleichung zu erstellen, berechnest du zuerst die Steigung m mit der Formel: m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$

💡 Merke dir: Die Steigungsformel m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$ ist dein wichtigstes Werkzeug für lineare Funktionen!

Steigung ablesen und Graphen zeichnen

Die Steigung eines Graphen kannst du direkt ablesen! Gehe eine Einheit nach rechts und zähle, wie viele Einheiten du nach oben (oder unten) gehen musst, um wieder auf den Graphen zu treffen.

Beispiele für Steigungen:

• m = 0,75 $oder 3/4$: für 4 Einheiten nach rechts gehe 3 nach oben
• m = 3: für 1 Einheit nach rechts gehe 3 nach oben
• m = 0,5: für 1 Einheit nach rechts gehe 0,5 nach oben
• m = -2: für 1 Einheit nach rechts gehe 2 nach unten

Negative Steigungen bedeuten, dass der Graph nach rechts abfällt. Um einen Graphen zu zeichnen, bestimmst du erst den y-Achsenabschnitt und zeichnest dann mit Hilfe der Steigung weitere Punkte.

🔍 Tipp: Bei negativer Steigung fällt der Graph, bei positiver steigt er. Je größer der Betrag der Steigung, desto steiler ist der Graph!

Funktionsgleichungen aufstellen

Eine lineare Funktionsgleichung hat immer die Form f$x$ = mx + b. Kennst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b, kannst du direkt die Gleichung aufstellen.

Beispiel: Bei m = 3 und b = 2 ist die Gleichung f$x$ = 3x + 2.

Um eine Funktionsgleichung aus einem Graphen zu erstellen:

1. Bestimme den y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit y-Achse)
2. Lies die Steigung ab
3. Setze beide Werte in f$x$ = mx + b ein

Mit einer Wertetabelle kannst du Punkte für deinen Graphen bestimmen. Trage verschiedene x-Werte ein und berechne die zugehörigen y-Werte.

🎯 Übungstipp: Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt ein und nutze dann die Steigung, um weitere Punkte zu finden!

Schnittpunkte und Punktprobe

Der Schnittpunkt zweier Geraden ist der Punkt, an dem sich beide Graphen treffen. Um ihn zu berechnen, setzt du beide Funktionsgleichungen gleich und löst nach x auf.

Beispiel: f$x$ = 3x+3 und g$x$ = 2x+6

3x+3 = 2x+6 x = 3

Dann setzt du x = 3 in eine der Funktionen ein, z.B. f(3) = 3·3+3 = 12. Der Schnittpunkt liegt also bei S(3|12).

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einem Graphen liegt, setze die x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein:

• Wenn das Ergebnis mit der y-Koordinate übereinstimmt, liegt der Punkt auf dem Graphen
• Wenn nicht, liegt er nicht auf dem Graphen

✨ Gut zu wissen: Zwei verschiedene Geraden haben immer genau einen Schnittpunkt (außer sie sind parallel)!

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Um zu bestimmen, ob mehrere Punkte auf demselben Graphen liegen, berechnest du die Steigung zwischen je zwei Punkten.

Beispiel mit Punkten A$-5|6$, B(0|4) und C$15|-2$:

Steigung zwischen A und B: m = $4-6$/$0-(-5)$ = -2/5

Steigung zwischen B und C: m = $-2-4$/$15-0$ = -6/15 = -2/5

Da beide Steigungen gleich sind $-2/5$, liegen die drei Punkte auf einer Geraden!

🔑 Wichtige Erkenntnis: Wenn die Steigungen zwischen allen Punktepaaren gleich sind, liegen alle Punkte auf demselben Graphen.