Lineare Funktionen und ihre Eigenschaften

Sarah

7.12.2025

Mathe

Lineare Funktionen

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Mathe

Funktionen und analysis

Lineare funktionen

Geradengleichung aus zwei punkten

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7. Dez. 2025

•

4 Seiten

Lineare Funktionen und ihre Eigenschaften

Sarah

@sarah17

Lineare Funktionen sind überall in unserem Alltag - von Handytarifen... Mehr anzeigen

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# SCHNITTPUNKTE

Schnittpunde zweier Geraden

Schnittpunkte mit der y-Achse

Schnittpunkte mit der x - Achse

f(x): 5x+2

g0 -2x+16

fx=5x+2

Schnittpunkte und Ungleichungen

Schnittpunkte findest du durch Gleichsetzen oder Nullsetzen. Für den Schnittpunkt zweier Geraden setzt du f(x) = g(x) und löst nach x auf. Den y-Achsenabschnitt liest du direkt bei t ab, den x-Achsenabschnitt findest du, indem du f(x) = 0 setzt.

Bei Ungleichungen wie 5x + 2 > -2x + 16 löst du wie normale Gleichungen. Wichtig: Wenn du durch eine negative Zahl teilst, drehst du das Ungleichheitszeichen um! Aus > wird < und umgekehrt.

Die Lage von Geraden erkennst du an ihren Steigungen. Parallel bedeutet gleiche Steigung, orthogonal bedeutet Steigungsprodukt = -1. Das hilft dir bei vielen Aufgaben weiter!

Achtung: Das Umdrehen des Ungleichheitszeichens bei negativer Division vergessen viele - merk's dir gut!

Parallelenschar und Geradenbüschel

Eine Parallelenschar entsteht, wenn du den Parameter t variierst, aber m konstant hältst. Bei f(x) = 0,5x + a entstehen durch verschiedene a-Werte parallele Geraden mit gleicher Steigung aber unterschiedlichen y-Achsenabschnitten.

Ein Geradenbüschel funktioniert umgekehrt: Du hältst t konstant und variierst die Steigung m. Bei g(x) = px + 2 schneiden sich alle Geraden im Büschelpunkt P(0|2), haben aber verschiedene Steigungen.

Funktionenscharen sind Sammlungen von Funktionen, wo ein Parameter variabel ist. Das ist super praktisch, um ganze Familien von Geraden zu untersuchen und ihre gemeinsamen Eigenschaften zu finden.

Eselsbrücke: Parallelenschar = gleiche Steigung, Geradenbüschel = gleicher y-Achsenabschnitt!

Grundlagen linearer Funktionen

Eine lineare Funktion hat immer die Form f(x) = mx + t. Dabei ist m die Steigung (wie steil geht's hoch oder runter?) und t der y-Achsenabschnitt $wo schneidet die Gerade die y-Achse?$ . Super easy!

Beim Zeichnen von Geraden gehst du systematisch vor: Erst setzt du einen Punkt bei t auf die y-Achse. Bei einer Steigung wie 3/4 gehst du 4 nach rechts und 3 nach oben. Bei negativen Steigungen wie -3 gehst du 3 nach unten und 1 nach rechts.

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen identisch sind $z.B. y = 3x - 5 und y = 3x + 1$ . Sie sind orthogonal (stehen senkrecht aufeinander), wenn das Produkt ihrer Steigungen -1 ergibt.

Merktipp: Bei orthogonalen Geraden ist eine Steigung immer der negative Kehrwert der anderen!

Gleichungen von Geraden aufstellen

Du kannst lineare Gleichungen auf verschiedene Arten aufstellen, je nachdem was gegeben ist. Die Punktsteigungsform y = m· $x - xₚ$ + yₚ ist dabei dein bester Freund!

Wenn zwei Punkte gegeben sind, berechnest du erst die Steigung mit m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ . Dann setzt du einen Punkt in die Punktsteigungsform ein. Bei P(5|2) und Q(3|1) wird m = 1/2, also y = 1/2· $x-3$ + 1.

Mit einem Punkt und einer Steigung ist's noch einfacher: Direkt in die Punktsteigungsform einsetzen. Bei P(2|5) und m = 3 wird's zu y = 3· $x-2$ + 5. Sind Steigung und y-Achsenabschnitt bekannt, schreibst du direkt y = mx + t.

Praxis-Tipp: Forme am Ende immer zur Normalform y = mx + t um - so siehst du Steigung und y-Achsenabschnitt sofort!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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