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Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Gleichung

Mathe242Aktualisiert 17. Sept. 20264 Seiten

Alles über Lineare Funktionen: Grundlagen und Anwendungen

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Verena @verena_neab
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Lineare Funktionen sind eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik - sie begegnen dir überall im Alltag! Ob beim Handytarif, beim Tanken oder bei der Berechnung von Geschwindigkeiten, lineare Funktionen helfen dir dabei, Zusammenhänge zu verstehen und vorherzusagen.
Lineare Funktionen – Seite 1

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Grundlagen linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben immer die Form y = mx + t und ihr Graph ist eine Gerade. Das macht sie super einfach zu erkennen! Der Buchstabe m steht für die Steigung und t für den y-Achsenabschnitt.

Ein Beispiel: Bei y = 2x - 1 ist m = 2 und t = -1. Du kannst ganz einfach Punkte berechnen, indem du x-Werte einsetzt. Für x = 1 bekommst du y = 1, also den Punkt P₁(1|1).

Die Steigung m verrät dir sofort, wie die Gerade verläuft: Bei m > 0 steigt die Gerade, bei m < 0 fällt sie und bei m = 0 ist sie waagerecht. Eine senkrechte Gerade ist übrigens keine lineare Funktion!

Merktipp: Das Steigungsdreieck hilft dir, die Steigung zu verstehen - einfach "Höhe durch Breite" rechnen!

Lineare Funktionen – Seite 2

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Nullstellen finden

Die Nullstelle ist der Punkt, wo deine Gerade die x-Achse schneidet - also wo y = 0 ist. Das ist super wichtig für viele Aufgaben! Du findest sie, indem du die Gleichung gleich null setzt.

Beispiel: Bei y = ½x - 3 setzt du 0 = ½x - 3. Nach x aufgelöst ergibt das x = 6. Manchmal gibt es keine Nullstelle (bei waagerechten Geraden über der x-Achse) oder unendlich viele (wenn die Gerade auf der x-Achse liegt).

Mit einer Wertetabelle oder dem Taschenrechner (Table-Funktion) kannst du schnell verschiedene Punkte berechnen. Das hilft dir beim Zeichnen und beim Verstehen der Funktion.

Praxistipp: Nullstellen kannst du oft schon am Graphen ablesen - rechnerisch bist du aber immer genauer!

Lineare Funktionen – Seite 3

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Schnittpunkte und besondere Geraden

Zwei Geraden können sich schneiden, parallel verlaufen oder senkrecht aufeinander stehen. Für den Schnittpunkt setzt du einfach beide Funktionen gleich - dort haben sie ja den gleichen y-Wert!

Parallele Geraden haben die gleiche Steigung m1=m2m₁ = m₂, schneiden sich aber nie. Senkrechte Geraden erkennst du daran, dass m₁ · m₂ = -1 ist. Einfacher Trick: Dreh den Bruch um und setz ein Minus davor!

Beispiel: Bei ⅔x + 1 = -2x + 3 löst du nach x auf und erhältst x = ¾. Dann setzt du das in eine der Funktionen ein und bekommst y = 3/2. Der Schnittpunkt ist also ¾∣3/2¾|3/2.

Rechentrick: Wenn beim Gleichsetzen etwas wie 0x = 3 rauskommt, sind die Geraden parallel!

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Geradenbüschel verstehen

Ein Geradenbüschel ist eine Familie von Geraden, die alle durch denselben Punkt gehen - den Büschelpunkt. Das sieht aus wie ein Fächer! Du erkennst sie an Funktionen wie fxx = mx + 2, wo nur m variiert.

Bei fxx = kx - 3k + 1 kannst du den Büschelpunkt finden, indem du k ausklammerst: y = kx−3x - 3 + 1. Wenn x = 3 ist, wird der k-Term null, und der Büschelpunkt ist B(3|1).

Alle Geraden eines Büschels haben unterschiedliche Steigungen, aber sie treffen sich immer in diesem einen besonderen Punkt. Das ist praktisch, um Geradenscharen zu verstehen!

Findertrick: Klammere den Parameter aus - wo er verschwindet, ist dein Büschelpunkt!

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