Mathematik

Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Funktion

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Aktualisiert 2. März 2026

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5 Seiten

Lineare Funktionen: Übungsaufgaben mit Lösungen

m i l a

@dieeinemilada

Lineare Funktionen sind ein wichtiges Grundlagenthema in der Mathematik. Sie... Mehr anzeigen

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Mathematik: lineare Funktionen
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Grundlagen linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben immer die Form f(x) = mx + b. Dabei gibt m die Steigung an und b den y-Achsenabschnitt. Eine lineare Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass ihre grafische Darstellung immer eine Gerade ist.

Nicht jede Zuordnung ist eine Funktion! Bei einer Funktion darf jedem x-Wert nur genau ein y-Wert zugeordnet werden. Zum Beispiel ist die Zuordnung "Note → Schüler" keine Funktion, weil mehrere Schüler dieselbe Note haben können.

Eine Wertetabelle hilft dir, Funktionswerte zu berechnen. Du trägst verschiedene x-Werte ein und berechnest die zugehörigen y-Werte mit der Funktionsgleichung.

💡 Merke: Bei linearen Funktionen ist die Veränderung immer konstant. Wenn x um 1 zunimmt, verändert sich y immer um denselben Wert m.

Arbeiten mit linearen Funktionen

Um die Funktionsgleichung einer Geraden zu bestimmen, brauchst du zwei Punkte. Berechne zuerst die Steigung m mit der Formel m = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ . Setze dann einen Punkt und die Steigung in die Gleichung y = mx + b ein, um b zu ermitteln.

Die Nullstelle einer Funktion findest du, indem du f(x) = 0 setzt und nach x auflöst. Bei der Funktion f(x) = -4x + 8 wäre die Rechnung: 0 = -4x + 8 → -8 = -4x → x = 2.

Lineare Funktionen sind super für Anwendungsaufgaben geeignet. Beispiel: Wenn ein Pool mit 1000 Litern beginnt und pro Minute 20 Liter hinzukommen, ist die Funktion f(t) = 20t + 1000, wobei t die Zeit in Minuten ist.

🔍 Tipp: Beim Zeichnen von Geraden reicht es, zwei Punkte zu bestimmen und zu verbinden. Besonders praktisch sind der y-Achsenabschnitt und die Nullstelle!

Funktionsgleichungen bestimmen

Um die Funktionsgleichung aus einem Graphen zu ermitteln, bestimme zuerst den y-Achsenabschnitt (b). Das ist der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Danach kannst du die Steigung (m) berechnen, indem du schaust, wie sich y verändert, wenn x um 1 zunimmt.

Beim Ausfüllen einer Wertetabelle setzt du die x-Werte in die Funktionsgleichung ein. Bei y = -2x + 2 und x = -2 berechnest du: y = -2 · (-2) + 2 = 4 + 2 = 6.

Beim Zeichnen einer Geraden mit der Gleichung y = ¼x + 1 trägst du am besten einige Punkte ein und verbindest sie. Der y-Achsenabschnitt liegt bei (0|1), und für x = 4 wäre y = 2.

🌟 Probier's aus: Bestimme selbst die Funktionsgleichung für eine Gerade, die durch die Punkte (1|3) und (3|7) verläuft. Die Steigung kannst du mit m = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2 berechnen.

Anwendungsaufgaben

Bei Textaufgaben mit linearen Funktionen ist es wichtig, die gegebenen Informationen in eine Funktionsgleichung zu übersetzen. Der Anfangswert wird zu b, die regelmäßige Veränderung zu m.

Für einen Pool mit 1000 Litern Anfangsvolumen und 20 Litern Zufluss pro Minute lautet die Funktion f(t) = 20t + 1000. Um zu berechnen, wann der Pool voll ist, musst du das Gesamtvolumen bestimmen $z.B. 5m × 3m × 2m = 30m³ = 30.000 Liter$ .

Die Nullstellen einer linearen Funktion sind wichtige Punkte, an denen der Funktionswert genau 0 ist. Bei f(x) = -4x + 8 setzt du 0 = -4x + 8 und löst nach x auf: x = 2.

🧩 Praxistipp: Bei Volumenberechnungen vergiss nicht, dass 1 m³ Wasser genau 1000 Liter entspricht. So kannst du leicht zwischen Kubikmetern und Litern umrechnen!

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