Lineare Funktionen sind einer der wichtigsten Grundbausteine der Mathematik -...
Mathe3.912 aufrufe·Aktualisiert 5. Aug. 2026·6 SeitenLineare Funktionen leicht verständlich erklärt
Marie Schweighofer@marieschweighofer
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Grundlagen linearer Funktionen
Lineare Funktionen haben immer die Form f = kx + d. Das k ist die Steigung (wie steil die Gerade ist) und d zeigt dir, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
Ein paar Beispiele: Bei f = -3x + 3 ist k = -3 und d = 3. Bei g = -2/3x - 3 ist k = -2/3 und d = -3. Du siehst das Muster?
Wenn d ≠ 0 ist, nennst du die Funktion inhomogen. Ist d = 0, dann ist sie homogen. Das klingt komplizierter als es ist!
Merktipp: Das k bestimmt, ob deine Gerade steigt (k > 0) oder fällt (k < 0). Das d zeigt dir sofort einen Punkt auf der Geraden: (0|d)!
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Punkte auf Geraden prüfen und Wertetabellen
Du willst checken, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? Einfach die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und schauen, ob das richtige y rauskommt.
Beispiel: Liegt P(4|6) auf y = -2x + 3? Einsetzen: y = -2·4 + 3 = -5. Nein, liegt nicht drauf, denn 6 ≠ -5!
Nicht jede Gerade ist übrigens eine lineare Funktion. Senkrechte Geraden fallen raus, weil dort einem x-Wert nicht genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Prüf-Trick: Setze einfach die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Kommt die richtige y-Koordinate raus? Dann liegt der Punkt auf der Geraden!
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Steigung berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen
Die Steigung k berechnest du mit dem Differenzquotienten: k = /. Das ist eigentlich nur "Höhenunterschied durch Längenunterschied".
Hast du zwei Punkte A(3|1) und B(5|4), dann ist k = / = 3/2. Jetzt noch einen Punkt in y = kx + d einsetzen: 1 = 3/2 · 3 + d, also d = -3,5.
Du kannst den Funktionsgraphen entweder über eine Wertetabelle oder mit dem Steigungsdreieck zeichnen. Bei steigenden Geraden (k > 0) geht's nach rechts oben, bei fallenden (k < 0) nach rechts unten.
Zeitsparer: Wenn du zwei Punkte hast, brauchst du nur die Steigung ausrechnen und einen Punkt einsetzen. Fertig ist die Funktionsgleichung!
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Nullstellen und Spurpunkte finden
Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. Du findest sie, indem du y = 0 setzt und nach x auflöst. Bei y = -3x - 5 wird das: 0 = -3x - 5, also x = -5/3.
Der Spurpunkt Sy ist der Schnittpunkt mit der y-Achse - das ist einfach der Punkt (0|d)! Bei y = -3x - 5 ist das Sy.
Diese beiden Punkte reichen übrigens schon zum Zeichnen der Geraden. Nullstelle und y-Achsenabschnitt - mehr brauchst du nicht!
Faustregel: Nullstelle = y gleich null setzen. Spurpunkt Sy = x gleich null setzen (oder einfach d ablesen)!
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Parallele und normale Geraden
Parallele Geraden haben die gleiche Steigung: k₁ = k₂. Sie laufen nebeneinander her, ohne sich zu schneiden.
Normale Geraden (senkrecht zueinander) haben Steigungen, die zueinander negative Kehrwerte sind: k₁ = -1/k₂. Wenn eine Gerade k = -2 hat, dann hat die Normale k = 1/2.
Willst du eine Parallele durch einen bestimmten Punkt? Nimm die gleiche Steigung und berechne das neue d. Für eine Normale nimmst du den negativen Kehrwert der Steigung.
Merkspruch: Parallel = gleiche Steigung. Normal = negativer Kehrwert der Steigung!
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Schnittpunkte von Geraden berechnen
Schnittpunkte findest du, indem du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzt. Aus f = 3x + 5 und g = 2x - 3 wird: 3x + 5 = 2x - 3.
Löse nach x auf: 3x - 2x = -3 - 5, also x = -8. Jetzt setzt du x = -8 in eine der beiden Gleichungen ein: y = 3· + 5 = -19.
Der Schnittpunkt ist also S. Du kannst zur Kontrolle auch die andere Gleichung verwenden - da muss das gleiche y rauskommen!
Kontroll-Tipp: Setze dein x in beide ursprünglichen Gleichungen ein. Kommt zweimal das gleiche y raus? Perfekt, dann stimmt dein Schnittpunkt!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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AnnaiOS-Nutzerin
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Marie Schweighofer@marieschweighofer
Lineare Funktionen sind einer der wichtigsten Grundbausteine der Mathematik - und ehrlich gesagt auch ziemlich logisch, wenn man sie erst mal verstanden hat! Du lernst hier, wie du mit Geraden rechnest, ihre Gleichungen aufstellst und ihre wichtigsten Eigenschaften bestimmst.
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Punkte auf Geraden prüfen und Wertetabellen
Du willst checken, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt? Einfach die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und schauen, ob das richtige y rauskommt.
Beispiel: Liegt P(4|6) auf y = -2x + 3? Einsetzen: y = -2·4 + 3 = -5. Nein, liegt nicht drauf, denn 6 ≠ -5!
Nicht jede Gerade ist übrigens eine lineare Funktion. Senkrechte Geraden fallen raus, weil dort einem x-Wert nicht genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Prüf-Trick: Setze einfach die x-Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Kommt die richtige y-Koordinate raus? Dann liegt der Punkt auf der Geraden!
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Steigung berechnen und Funktionsgleichungen aufstellen
Die Steigung k berechnest du mit dem Differenzquotienten: k = /. Das ist eigentlich nur "Höhenunterschied durch Längenunterschied".
Hast du zwei Punkte A(3|1) und B(5|4), dann ist k = / = 3/2. Jetzt noch einen Punkt in y = kx + d einsetzen: 1 = 3/2 · 3 + d, also d = -3,5.
Du kannst den Funktionsgraphen entweder über eine Wertetabelle oder mit dem Steigungsdreieck zeichnen. Bei steigenden Geraden (k > 0) geht's nach rechts oben, bei fallenden (k < 0) nach rechts unten.
Zeitsparer: Wenn du zwei Punkte hast, brauchst du nur die Steigung ausrechnen und einen Punkt einsetzen. Fertig ist die Funktionsgleichung!
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Nullstellen und Spurpunkte finden
Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse. Du findest sie, indem du y = 0 setzt und nach x auflöst. Bei y = -3x - 5 wird das: 0 = -3x - 5, also x = -5/3.
Der Spurpunkt Sy ist der Schnittpunkt mit der y-Achse - das ist einfach der Punkt (0|d)! Bei y = -3x - 5 ist das Sy.
Diese beiden Punkte reichen übrigens schon zum Zeichnen der Geraden. Nullstelle und y-Achsenabschnitt - mehr brauchst du nicht!
Faustregel: Nullstelle = y gleich null setzen. Spurpunkt Sy = x gleich null setzen (oder einfach d ablesen)!
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Parallele Geraden haben die gleiche Steigung: k₁ = k₂. Sie laufen nebeneinander her, ohne sich zu schneiden.
Normale Geraden (senkrecht zueinander) haben Steigungen, die zueinander negative Kehrwerte sind: k₁ = -1/k₂. Wenn eine Gerade k = -2 hat, dann hat die Normale k = 1/2.
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Merkspruch: Parallel = gleiche Steigung. Normal = negativer Kehrwert der Steigung!
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