Mathematik

Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Gleichung

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13. Feb. 2026

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7 Seiten

Lineare Funktionen - Einführung für die 8. Klasse Gymnasium Bayern

mira

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Lineare Funktionen sind überall um dich herum - vom Handytarif... Mehr anzeigen

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Was sind lineare Funktionen?

Stell dir vor, du bekommst 2€ Taschengeld pro Woche und hast schon 5€ gespart. Nach x Wochen hast du dann y = 2x + 5 Euro - das ist eine lineare Funktion!

Alle linearen Funktionen haben die Form y = mx + b. Dabei ist m die Steigung (wie steil die Gerade ist) und b der y-Achsenabschnitt $wo die Gerade die y-Achse schneidet$ .

Bei y = 2x + 5 ist die Steigung m = 2 und der y-Achsenabschnitt b = 5. Das bedeutet: Pro Schritt nach rechts geht es 2 Schritte nach oben, und die Gerade schneidet die y-Achse bei 5.

Merktipp: Die Steigung m zeigt dir, wie "schnell" eine Funktion wächst oder fällt!

Steigungen verstehen

Die Steigung m bestimmt das Aussehen deiner Geraden komplett. Ist m positiv, steigt die Gerade nach rechts an. Ist m negativ, fällt sie nach rechts ab.

Je größer der Betrag von m, desto steiler wird deine Gerade. Eine Steigung von m = 2 ist steiler als m = 0,5. Eine Steigung von m = -3 fällt steiler ab als m = -1,5.

Bei m = 0 bekommst du eine waagrechte Gerade - sie steigt oder fällt gar nicht. Das ist wie beim Sparen ohne Taschengeld: Der Betrag bleibt gleich.

Praxistipp: Zeichne verschiedene Steigungen und du siehst sofort den Unterschied!

Schnittpunkte von Geraden berechnen

Ab hier wird's richtig nützlich für deine nächste Klassenarbeit! Wenn sich zwei Geraden schneiden, kannst du den Schnittpunkt auf zwei Wegen finden.

Rechnerisch: Setze die beiden Funktionen gleich $2x - 1 = -3x + 4$ , löse nach x auf $x = 1$ und setze x in eine der Funktionen ein $y = 1$ . Fertig: Schnittpunkt S(1|1).

Graphisch: Zeichne beide Geraden ins Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Das ist oft schneller, aber weniger genau als das Rechnen.

Klausurtipp: Rechne immer nach, auch wenn du graphisch arbeitest - das bringt Extrapunkte!

Sonderfälle bei Schnittpunkten

Manchmal schneiden sich Geraden mit besonderen Linien. Bei waagrechten Geraden wie y = 3 setzt du einfach die Funktionen gleich: 3 = 5x + 10 ergibt x = -1,4.

Die Nullstelle $Schnittpunkt mit der x-Achse$ findest du, indem du y = 0 setzt. Bei y = -⅔x + 7 wird das zu 0 = -⅔x + 7, also x = 10,5.

Diese Sonderfälle kommen in Klausuren besonders gerne vor. Sie sehen kompliziert aus, sind aber eigentlich nur Variationen des normalen Schemas.

Erfolgsgeheimnis: Nullstellen sind nur Schnittpunkte mit y = 0 - mehr nicht!

Lineare Ungleichungen lösen

Statt nach dem genauen Schnittpunkt fragst du hier: "Wann ist eine Gerade höher als die andere?" Bei g(x) < h(x) suchst du alle x-Werte, wo g unterhalb von h liegt.

Graphisch: Schaue, wo die erste Gerade unter der zweiten liegt. Bei den Funktionen g(x) = ⅓x + 1,5 und h(x) = -x + 3,5 ist das für x < 1,5 der Fall.

Rechnerisch: Löse die Ungleichung wie eine normale Gleichung: ⅓x + 1,5 < -x + 3,5 wird zu x < 1,5. In Intervallschreibweise: x ∈ ]-∞; 1,5[.

Achtung: Bei negativer Multiplikation/Division dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen

Auch bei komplizierteren Funktionen wie gebrochen-rationalen Funktionen findest du Schnittpunkte nach dem gleichen Schema. Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 ein.

Bei y = 1/ $x-2$ + 1 wird das zu y = 1/(0-2) + 1 = 0,5. Also: Sy(0|0,5). Für Nullstellen setzt du y = 0: 0 = 1/ $x-2$ + 1 ergibt x = 1.

Das Prinzip bleibt immer gleich, nur die Rechnungen werden etwas aufwändiger. Aber keine Sorge - wenn du das Grundschema beherrschst, packst du auch die schwierigeren Aufgaben.

Erfolgstipp: Übe zuerst mit einfachen linearen Funktionen, dann mit den komplizierteren!

Asymptoten und Potenzgesetze

Asymptoten sind wie unsichtbare Linien, denen sich Funktionsgraphen nähern, ohne sie je zu berühren. Bei f(x) = 2/ $x+5$ - 1 gibt es eine senkrechte Asymptote bei x = -5 und eine waagrechte bei y = -1.

Potenzgesetze brauchst du für komplexere Berechnungen. Die wichtigsten: a^m · a^n = a^ $m+n$ , a^m : a^n = a^ $m-n$ und $a^m$ ^n = a^(m·n).

Diese Themen werden später wichtiger, aber die Grundlagen solltest du schon jetzt verstehen. Sie helfen dir, auch schwierige Funktionen zu durchschauen.

Langzeittipp: Lerne die Potenzgesetze auswendig - sie brauchst du bis zum Abitur!

Wir dachten schon, du fragst nie...

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