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Mathematik

Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Gleichung

Mathe574Aktualisiert 23. Okt. 20267 Seiten

Lineare Funktionen - Einführung für die 8. Klasse Gymnasium Bayern

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Lineare Funktionen sind überall um dich herum - vom Handytarif bis zur Tankrechnung. Sie beschreiben Zusammenhänge, die sich gleichmäßig ändern, und ihre Graphen sind immer Geraden.
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Was sind lineare Funktionen?

Stell dir vor, du bekommst 2€ Taschengeld pro Woche und hast schon 5€ gespart. Nach x Wochen hast du dann y = 2x + 5 Euro - das ist eine lineare Funktion!

Alle linearen Funktionen haben die Form y = mx + b. Dabei ist m die Steigung (wie steil die Gerade ist) und b der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).

Bei y = 2x + 5 ist die Steigung m = 2 und der y-Achsenabschnitt b = 5. Das bedeutet: Pro Schritt nach rechts geht es 2 Schritte nach oben, und die Gerade schneidet die y-Achse bei 5.

Merktipp: Die Steigung m zeigt dir, wie "schnell" eine Funktion wächst oder fällt!

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Steigungen verstehen

Die Steigung m bestimmt das Aussehen deiner Geraden komplett. Ist m positiv, steigt die Gerade nach rechts an. Ist m negativ, fällt sie nach rechts ab.

Je größer der Betrag von m, desto steiler wird deine Gerade. Eine Steigung von m = 2 ist steiler als m = 0,5. Eine Steigung von m = -3 fällt steiler ab als m = -1,5.

Bei m = 0 bekommst du eine waagrechte Gerade - sie steigt oder fällt gar nicht. Das ist wie beim Sparen ohne Taschengeld: Der Betrag bleibt gleich.

Praxistipp: Zeichne verschiedene Steigungen und du siehst sofort den Unterschied!

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Schnittpunkte von Geraden berechnen

Ab hier wird's richtig nützlich für deine nächste Klassenarbeit! Wenn sich zwei Geraden schneiden, kannst du den Schnittpunkt auf zwei Wegen finden.

Rechnerisch: Setze die beiden Funktionen gleich 2x−1=−3x+42x - 1 = -3x + 4, löse nach x auf x=1x = 1 und setze x in eine der Funktionen ein y=1y = 1. Fertig: Schnittpunkt S(1|1).

Graphisch: Zeichne beide Geraden ins Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Das ist oft schneller, aber weniger genau als das Rechnen.

Klausurtipp: Rechne immer nach, auch wenn du graphisch arbeitest - das bringt Extrapunkte!

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Sonderfälle bei Schnittpunkten

Manchmal schneiden sich Geraden mit besonderen Linien. Bei waagrechten Geraden wie y = 3 setzt du einfach die Funktionen gleich: 3 = 5x + 10 ergibt x = -1,4.

Die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) findest du, indem du y = 0 setzt. Bei y = -⅔x + 7 wird das zu 0 = -⅔x + 7, also x = 10,5.

Diese Sonderfälle kommen in Klausuren besonders gerne vor. Sie sehen kompliziert aus, sind aber eigentlich nur Variationen des normalen Schemas.

Erfolgsgeheimnis: Nullstellen sind nur Schnittpunkte mit y = 0 - mehr nicht!

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Lineare Ungleichungen lösen

Statt nach dem genauen Schnittpunkt fragst du hier: "Wann ist eine Gerade höher als die andere?" Bei gxx < hxx suchst du alle x-Werte, wo g unterhalb von h liegt.

Graphisch: Schaue, wo die erste Gerade unter der zweiten liegt. Bei den Funktionen gxx = ⅓x + 1,5 und hxx = -x + 3,5 ist das für x < 1,5 der Fall.

Rechnerisch: Löse die Ungleichung wie eine normale Gleichung: ⅓x + 1,5 < -x + 3,5 wird zu x < 1,5. In Intervallschreibweise: x ∈ ]-∞; 1,5[.

Achtung: Bei negativer Multiplikation/Division dreht sich das Ungleichheitszeichen um!

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Schnittpunkte mit Koordinatenachsen

Auch bei komplizierteren Funktionen wie gebrochen-rationalen Funktionen findest du Schnittpunkte nach dem gleichen Schema. Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 ein.

Bei y = 1/x−2x-2 + 1 wird das zu y = 1/0−20-2 + 1 = 0,5. Also: Sy(0|0,5). Für Nullstellen setzt du y = 0: 0 = 1/x−2x-2 + 1 ergibt x = 1.

Das Prinzip bleibt immer gleich, nur die Rechnungen werden etwas aufwändiger. Aber keine Sorge - wenn du das Grundschema beherrschst, packst du auch die schwierigeren Aufgaben.

Erfolgstipp: Übe zuerst mit einfachen linearen Funktionen, dann mit den komplizierteren!

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Asymptoten und Potenzgesetze

Asymptoten sind wie unsichtbare Linien, denen sich Funktionsgraphen nähern, ohne sie je zu berühren. Bei fxx = 2/x+5x+5 - 1 gibt es eine senkrechte Asymptote bei x = -5 und eine waagrechte bei y = -1.

Potenzgesetze brauchst du für komplexere Berechnungen. Die wichtigsten: a^m · a^n = a^m+nm+n, a^m : a^n = a^m−nm-n und ama^m^n = a^(m·n).

Diese Themen werden später wichtiger, aber die Grundlagen solltest du schon jetzt verstehen. Sie helfen dir, auch schwierige Funktionen zu durchschauen.

Langzeittipp: Lerne die Potenzgesetze auswendig - sie brauchst du bis zum Abitur!

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