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Mathe
14. Dez. 2025
553
7 Seiten
mira @mira_41uv70oevxxv7px
Lineare Funktionen sind überall um dich herum - vom Handytarif bis zur Tankrechnung. Sie beschreiben Zusammenhänge, die sich... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du bekommst 2€ Taschengeld pro Woche und hast schon 5€ gespart. Nach x Wochen hast du dann y = 2x + 5 Euro - das ist eine lineare Funktion!
Alle linearen Funktionen haben die Form y = mx + b. Dabei ist m die Steigung (wie steil die Gerade ist) und b der y-Achsenabschnitt .
Bei y = 2x + 5 ist die Steigung m = 2 und der y-Achsenabschnitt b = 5. Das bedeutet Pro Schritt nach rechts geht es 2 Schritte nach oben, und die Gerade schneidet die y-Achse bei 5.
Merktipp Die Steigung m zeigt dir, wie "schnell" eine Funktion wächst oder fällt!
Die Steigung m bestimmt das Aussehen deiner Geraden komplett. Ist m positiv, steigt die Gerade nach rechts an. Ist m negativ, fällt sie nach rechts ab.
Je größer der Betrag von m, desto steiler wird deine Gerade. Eine Steigung von m = 2 ist steiler als m = 0,5. Eine Steigung von m = -3 fällt steiler ab als m = -1,5.
Bei m = 0 bekommst du eine waagrechte Gerade - sie steigt oder fällt gar nicht. Das ist wie beim Sparen ohne Taschengeld Der Betrag bleibt gleich.
Praxistipp Zeichne verschiedene Steigungen und du siehst sofort den Unterschied!
Ab hier wird's richtig nützlich für deine nächste Klassenarbeit! Wenn sich zwei Geraden schneiden, kannst du den Schnittpunkt auf zwei Wegen finden.
Rechnerisch Setze die beiden Funktionen gleich , löse nach x auf und setze x in eine der Funktionen ein . Fertig Schnittpunkt S(1|1).
Graphisch Zeichne beide Geraden ins Koordinatensystem und lies den Schnittpunkt ab. Das ist oft schneller, aber weniger genau als das Rechnen.
Klausurtipp Rechne immer nach, auch wenn du graphisch arbeitest - das bringt Extrapunkte!
Manchmal schneiden sich Geraden mit besonderen Linien. Bei waagrechten Geraden wie y = 3 setzt du einfach die Funktionen gleich 3 = 5x + 10 ergibt x = -1,4.
Die Nullstelle findest du, indem du y = 0 setzt. Bei y = -⅔x + 7 wird das zu 0 = -⅔x + 7, also x = 10,5.
Diese Sonderfälle kommen in Klausuren besonders gerne vor. Sie sehen kompliziert aus, sind aber eigentlich nur Variationen des normalen Schemas.
Erfolgsgeheimnis Nullstellen sind nur Schnittpunkte mit y = 0 - mehr nicht!
Statt nach dem genauen Schnittpunkt fragst du hier "Wann ist eine Gerade höher als die andere?" Bei g(x) < h(x) suchst du alle x-Werte, wo g unterhalb von h liegt.
Graphisch Schaue, wo die erste Gerade unter der zweiten liegt. Bei den Funktionen g(x) = ⅓x + 1,5 und h(x) = -x + 3,5 ist das für x < 1,5 der Fall.
Rechnerisch Löse die Ungleichung wie eine normale Gleichung ⅓x + 1,5 < -x + 3,5 wird zu x < 1,5. In Intervallschreibweise x ∈ ]-∞; 1,5[.
Achtung Bei negativer Multiplikation/Division dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
Auch bei komplizierteren Funktionen wie gebrochen-rationalen Funktionen findest du Schnittpunkte nach dem gleichen Schema. Für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 ein.
Bei y = 1/ + 1 wird das zu y = 1/(0-2) + 1 = 0,5. Also Sy(0|0,5). Für Nullstellen setzt du y = 0 0 = 1/ + 1 ergibt x = 1.
Das Prinzip bleibt immer gleich, nur die Rechnungen werden etwas aufwändiger. Aber keine Sorge - wenn du das Grundschema beherrschst, packst du auch die schwierigeren Aufgaben.
Erfolgstipp Übe zuerst mit einfachen linearen Funktionen, dann mit den komplizierteren!
Asymptoten sind wie unsichtbare Linien, denen sich Funktionsgraphen nähern, ohne sie je zu berühren. Bei f(x) = 2/ - 1 gibt es eine senkrechte Asymptote bei x = -5 und eine waagrechte bei y = -1.
Potenzgesetze brauchst du für komplexere Berechnungen. Die wichtigsten a^m · a^n = a^, a^m a^n = a^ und ^n = a^(m·n).
Diese Themen werden später wichtiger, aber die Grundlagen solltest du schon jetzt verstehen. Sie helfen dir, auch schwierige Funktionen zu durchschauen.
Langzeittipp Lerne die Potenzgesetze auswendig - sie brauchst du bis zum Abitur!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen linearer Funktionen, einschließlich der Definitionen von Steigungswinkel, Schnittpunkten und Geradenscharen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte wie die Bestimmung von Funktionsgleichungen und die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecke die Grundlagen linearer Funktionen in der Mathematik der 8. Klasse. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Funktionsgleichungen, Steigungsdreiecke, Nullstellen und die Eigenschaften von linearen Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten. Enthält anschauliche Beispiele und praktische Anwendungen, einschließlich Wortproblemen.
MatheEntdecken Sie die Unterschiede zwischen homogenen und inhomogenen linearen Funktionen. Lernen Sie die Funktionsgleichungen, deren Eigenschaften und praktische Beispiele kennen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte, einschließlich der Bedeutung von Steigung und konstanten Werten. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheEntdecke die umfassende Themenübersicht für dein Mathe-Abitur. Diese Checkliste umfasst alle wichtigen Bereiche wie Analysis, Integralrechnung, Stochastik und Vektorgeometrie. Ideal für die gezielte Vorbereitung auf Prüfungen. Perfekt für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Funktionsgleichung, der Berechnung der Steigung, Schnittpunktberechnung und Nullstellen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten. Themen: Funktionsgleichung, Steigung, Schnittpunkte, Nullstellen.
MatheErfahren Sie, wie man Schnittpunkte und Nullstellen linearer Funktionen berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Bestimmung von Schnittpunkten durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen, das Berechnen von Nullstellen und das Ablesen von Funktionen am Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von linearen Funktionen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Schritte zur Lösung linearer Gleichungen in der Form f(x) = ax + b. Diese Zusammenfassung bietet klare Anleitungen und Beispiele, um den Wert der Variablen x zu bestimmen. Ideal für Schüler, die ihre Fähigkeiten in der Algebra verbessern möchten.
MatheApp Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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mira
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Lineare Funktionen sind überall um dich herum - vom Handytarif bis zur Tankrechnung. Sie beschreiben Zusammenhänge, die sich gleichmäßig ändern, und ihre Graphen sind immer Geraden.
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Stell dir vor, du bekommst 2€ Taschengeld pro Woche und hast schon 5€ gespart. Nach x Wochen hast du dann y = 2x + 5 Euro - das ist eine lineare Funktion!
Alle linearen Funktionen haben die Form y = mx + b. Dabei ist m die Steigung (wie steil die Gerade ist) und b der y-Achsenabschnitt .
Bei y = 2x + 5 ist die Steigung m = 2 und der y-Achsenabschnitt b = 5. Das bedeutet: Pro Schritt nach rechts geht es 2 Schritte nach oben, und die Gerade schneidet die y-Achse bei 5.
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Rechnerisch: Löse die Ungleichung wie eine normale Gleichung: ⅓x + 1,5 < -x + 3,5 wird zu x < 1,5. In Intervallschreibweise: x ∈ ]-∞; 1,5[.
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Bei y = 1/ + 1 wird das zu y = 1/(0-2) + 1 = 0,5. Also: Sy(0|0,5). Für Nullstellen setzt du y = 0: 0 = 1/ + 1 ergibt x = 1.
Das Prinzip bleibt immer gleich, nur die Rechnungen werden etwas aufwändiger. Aber keine Sorge - wenn du das Grundschema beherrschst, packst du auch die schwierigeren Aufgaben.
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Asymptoten sind wie unsichtbare Linien, denen sich Funktionsgraphen nähern, ohne sie je zu berühren. Bei f(x) = 2/ - 1 gibt es eine senkrechte Asymptote bei x = -5 und eine waagrechte bei y = -1.
Potenzgesetze brauchst du für komplexere Berechnungen. Die wichtigsten: a^m · a^n = a^, a^m : a^n = a^ und ^n = a^(m·n).
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Langzeittipp: Lerne die Potenzgesetze auswendig - sie brauchst du bis zum Abitur!
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4
Smarte Tools NEU
Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen
Entdecken Sie die Grundlagen linearer Funktionen, einschließlich der Definitionen von Steigungswinkel, Schnittpunkten und Geradenscharen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Übersicht über die wichtigsten Konzepte wie die Bestimmung von Funktionsgleichungen und die Analyse von Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis vertiefen möchten.
MatheEntdecke die Grundlagen linearer Funktionen in der Mathematik der 8. Klasse. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie Funktionsgleichungen, Steigungsdreiecke, Nullstellen und die Eigenschaften von linearen Funktionen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten. Enthält anschauliche Beispiele und praktische Anwendungen, einschließlich Wortproblemen.
MatheEntdecken Sie die Unterschiede zwischen homogenen und inhomogenen linearen Funktionen. Lernen Sie die Funktionsgleichungen, deren Eigenschaften und praktische Beispiele kennen. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte, einschließlich der Bedeutung von Steigung und konstanten Werten. Ideal für Schüler, die sich auf Mathematikprüfungen vorbereiten.
MatheEntdecke die umfassende Themenübersicht für dein Mathe-Abitur. Diese Checkliste umfasst alle wichtigen Bereiche wie Analysis, Integralrechnung, Stochastik und Vektorgeometrie. Ideal für die gezielte Vorbereitung auf Prüfungen. Perfekt für Schüler, die ihre Kenntnisse in Mathematik vertiefen möchten.
MatheDieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über lineare Funktionen, einschließlich der allgemeinen Funktionsgleichung, der Berechnung der Steigung, Schnittpunktberechnung und Nullstellen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Mathematik vertiefen möchten. Themen: Funktionsgleichung, Steigung, Schnittpunkte, Nullstellen.
MatheErfahren Sie, wie man Schnittpunkte und Nullstellen linearer Funktionen berechnet. Diese Zusammenfassung behandelt die Schritte zur Bestimmung von Schnittpunkten durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen, das Berechnen von Nullstellen und das Ablesen von Funktionen am Graphen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis von linearen Funktionen vertiefen möchten.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Julia S
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