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Mathe

13. Dez. 2025

393

12 Seiten

Grundlagen zu Linearen Funktionen und Gleichungssystemen

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Jess @jess_2011

Lineare Funktionen und Gleichungssysteme sind super wichtige Mathe-Themen, die dir in der 8. Klasse begegnen. Du lernst hier,... Mehr anzeigen

# Mathe - Themen:

1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
→ als Gerade im Koordi

Mathe-Themen Überblick

Du stehst vor zwei mega wichtigen Mathe-Kapiteln! Lineare Funktionen zeigen dir, wie Geraden im Koordinatensystem funktionieren. Lineare Gleichungssysteme helfen dir dabei, Aufgaben mit mehreren Unbekannten zu knacken.

Diese beiden Themen hängen eng zusammen - wenn du Funktionen verstehst, werden dir Gleichungssysteme viel leichter fallen. Du wirst sehen, dass alles logisch aufeinander aufbaut!

# Mathe - Themen:

1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
→ als Gerade im Koordi

Lineare Funktionen - Die Basics

Stell dir vor, du zeichnest eine gerade Linie im Koordinatensystem - das ist eine lineare Funktion! Die Formel f(x) = mx + b ist dein wichtigster Begleiter. Das "x" steht immer ohne Potenz da (nie x² oder x³), deshalb heißt es auch Funktion ersten Grades.

m ist die Steigung - sie zeigt dir, ob die Gerade steigt (m > 0), waagerecht verläuft m=0m = 0 oder fällt (m < 0). b ist der y-Achsenabschnitt - der Punkt, wo deine Gerade die y-Achse schneidet.

Mit dem Steigungsdreieck findest du die Steigung raus Du zählst einfach die Länge der senkrechten Seite und teilst sie durch die waagerechte Seite. Das ergibt einen Bruch, der deine Steigung ist!

Merktipp Bei linearen Funktionen mit b = 0 spricht man von Ursprungsgeraden - sie gehen direkt durch den Nullpunkt!

# Mathe - Themen:

1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
→ als Gerade im Koordi

Steigung berechnen und wichtige Punkte finden

Die Steigungsformel m = y2y1y₂-y₁/x2x1x₂-x₁ ist dein Geheimrezept! Du suchst dir zwei markante Punkte auf der Geraden aus und setzt ihre Koordinaten in die Formel ein. Super praktisch, wenn das Steigungsdreieck schwer abzulesen ist.

Den Y-Achsenabschnitt findest du, indem du schaust, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Bei der Funktion f(x) = 2x - 3 ist der y-Achsenabschnitt einfach -3.

Nullstellen berechnen funktioniert anders Du setzt f(x) = 0 und löst nach x auf. Bei 0 = -2x + 1 rechnest du +2x, dann durch 2 teilen und kriegst x = 1/2. Die Nullstelle liegt also bei (1/2|0).

Praxis-Tipp Nullstellen sind mega wichtig für Textaufgaben - sie zeigen dir oft, wann etwas den Wert Null erreicht!

# Mathe - Themen:

1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
→ als Gerade im Koordi

Funktionsgraphen zeichnen und Gleichungen bestimmen

Funktionsgraph zeichnen ist wie ein Rezept Erst den y-Achsenabschnitt einzeichnen, dann die Steigung ablesen und das Steigungsdreieck vom y-Achsenabschnitt aus zeichnen. Bei f(x) = 2/4 x + 2 gehst du 4 Schritte nach rechts und 2 nach oben. Zum Schluss verbindest du die Punkte mit einer geraden Linie.

Funktionsgleichung bestimmen geht zwei Wege Wenn der Graph da ist, liest du b ab und zeichnest ein Steigungsdreieck für m. Wenn du nur zwei Punkte hast, berechnest du erst m mit der Steigungsformel, dann setzt du einen Punkt in y = mx + b ein und löst nach b auf.

Beispiel P(5|6) und Q(4|3) ergeben m = (3-6)/(4-5) = 3. Mit P eingesetzt 6 = 3·5 + b, also b = -9. Fertig f(x) = 3x - 9!

Erfolgs-Tipp Mach immer eine Probe mit dem zweiten Punkt - so merkst du Rechenfehler sofort!

# Mathe - Themen:

1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
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Besondere Geraden und ihre Lage

Waagerechte Geraden haben die Steigung m = 0 und die Gleichung f(x) = b. Sie verlaufen parallel zur x-Achse - total einfach zu zeichnen! Senkrechte Geraden sind technisch keine Funktionen mehr, weil einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet sind. Ihre Gleichung ist einfach x = c.

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Sie treffen sich nie! Geraden mit eindeutigem Schnittpunkt haben verschiedene Steigungen.

Den Schnittpunkt findest du, indem du die Funktionen gleichsetzt f(x) = g(x). Das ergibt eine Gleichung mit nur noch x, die du lösen kannst. Den x-Wert setzt du dann in eine der Funktionen ein, um den y-Wert zu bekommen.

Wichtig Mach immer die Probe, indem du x auch in die andere Funktion einsetzt!

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2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
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Schnittpunkte berechnen - Schritt für Schritt

Bei Schnittpunkten checkst du erst Haben die Geraden verschiedene Steigungen? Dann gibt's einen Schnittpunkt! Du setzt f(x) = g(x) und löst nach x auf.

Beispiel f(x) = 2x - 2 und g(x) = -2/3x + 6. Gleichsetzen 2x - 2 = -2/3x + 6. Nach x auflösen ergibt x = 3. Einsetzen in f(x) f(3) = 2·3 - 2 = 4. Probe g(3) = -2/3·3 + 6 = 4 ✓

Grafisch geht's auch Beide Funktionen zeichnen und den Schnittpunkt ablesen. Das ist super zur Kontrolle, aber rechnerisch ist meist genauer.

Der Schnittpunkt liegt also bei (3|4) - dort treffen sich beide Geraden!

Merktipp Schnittpunkte von Geraden sind oft gefragt bei Textaufgaben - sie zeigen dir, wann zwei Situationen gleich sind!

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2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
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Gleichungssysteme - Das Gleichsetzungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme haben zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (x und y). Du suchst Zahlen, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen - wie ein Rätsel mit zwei Hinweisen!

Beim Gleichsetzungsverfahren formst du beide Gleichungen nach derselben Variable um. Dann setzt du sie gleich und löst nach der anderen Variable auf.

Beispiel Aus 2x - 3y = -2 wird x = -1 + 1,5y und aus -3x + 6y = 0 wird x = 2y. Gleichsetzen -1 + 1,5y = 2y ergibt y = -2. Das setzt du in eine Gleichung ein x = 2(-2) = -4.

Probe nicht vergessen! Setze x = -4 und y = -2 in beide ursprünglichen Gleichungen ein und check, ob's stimmt.

Erfolgs-Strategie Das Gleichsetzungsverfahren ist perfekt, wenn eine Gleichung schon nach x oder y aufgelöst ist!

# Mathe - Themen:

1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
→ als Gerade im Koordi

Besondere Fälle bei Gleichungssystemen

Manchmal läuft's anders als geplant! Wenn du beim Gleichsetzen so etwas wie -1 = 1,5 rausbekommst (eine falsche Aussage), dann hat das Gleichungssystem keine Lösung. Die Geraden verlaufen parallel zueinander.

Kriegst du dagegen 0 = 0 oder 3,5 = 3,5 raus (eine immer wahre Aussage), dann hat das System unendlich viele Lösungen. Die beiden Gleichungen beschreiben eigentlich dieselbe Gerade!

Beispiel für keine Lösung -3x + 6y = 3 und 2x - 4y = 3 ergeben nach Umformen -1 = 1,5. Unmöglich!

Beispiel für unendlich viele Lösungen 2x - 5y = 7 und -4x + 10y = -14 ergeben beide x = 3,5 + 2,5y. Identisch!

Wichtig Diese besonderen Fälle kommen in Tests gerne vor - lass dich nicht verwirren!

# Mathe - Themen:

1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
→ als Gerade im Koordi

Das Additionsverfahren meistern

Das Additionsverfahren ist mega clever Du formst die Gleichungen so um, dass sich eine Variable beim Addieren weghebt! Dann hast du nur noch eine Variable übrig.

Schritt-für-Schritt Bei 2x - 3y = -4 und 3x + y = 5 multiplizierst du die zweite Gleichung mit 3, damit aus +y wird +3y. Jetzt hast du -3y und +3y, die sich zu 0 addieren.

Nach dem Multiplizieren 2x - 3y = -4 und 9x + 3y = 15. Addieren 11x = 11, also x = 1. Das x setzt du in eine ursprüngliche Gleichung ein 3(1) + y = 5, also y = 2.

Lösung x = 1, y = 2. Das bedeutet Die Geraden schneiden sich im Punkt (1|2)!

Pro-Tipp Das Additionsverfahren ist super, wenn die Koeffizienten schon ähnlich sind oder leicht angepasst werden können!

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1. Lineare Funktionen
2. Lineare Gleichungs-Systeme Mathe - lineare Funktion
Formel: f(x) = mx + b
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Besondere Fälle beim Additionsverfahren

Auch beim Additionsverfahren gibt's diese besonderen Situationen! Wenn du die Gleichungen addierst und 0 = 21 (oder eine andere falsche Zahl) rauskommt, hat das System keine Lösung. Die Geraden sind parallel.

Kommt 0 = 0 raus, hat das System unendlich viele Lösungen. Die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade - sie "berühren" sich an allen Punkten.

Beispiel keine Lösung -3x + 6y = 6 und 3x - 6y = 15 ergeben beim Addieren 0 = 21. Unmöglich!

Beispiel unendlich viele Lösungen 8x - 2y = 6 und -8x + 2y = -6 ergeben 0 = 0. Die Gleichungen sind identisch!

Durchblick-Tipp Egal welches Verfahren du verwendest - die besonderen Fälle erkennst du immer an falschen Aussagen (keine Lösung) oder wahren Aussagen wie 0 = 0 (unendlich viele Lösungen)!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Grundlagen zu Linearen Funktionen und Gleichungssystemen

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Lineare Funktionen und Gleichungssysteme sind super wichtige Mathe-Themen, die dir in der 8. Klasse begegnen. Du lernst hier, wie Geraden funktionieren und wie du knifflige Gleichungen mit zwei Unbekannten löst.

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Mathe-Themen Überblick

Du stehst vor zwei mega wichtigen Mathe-Kapiteln! Lineare Funktionen zeigen dir, wie Geraden im Koordinatensystem funktionieren. Lineare Gleichungssysteme helfen dir dabei, Aufgaben mit mehreren Unbekannten zu knacken.

Diese beiden Themen hängen eng zusammen - wenn du Funktionen verstehst, werden dir Gleichungssysteme viel leichter fallen. Du wirst sehen, dass alles logisch aufeinander aufbaut!

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Lineare Funktionen - Die Basics

Stell dir vor, du zeichnest eine gerade Linie im Koordinatensystem - das ist eine lineare Funktion! Die Formel f(x) = mx + b ist dein wichtigster Begleiter. Das "x" steht immer ohne Potenz da (nie x² oder x³), deshalb heißt es auch Funktion ersten Grades.

m ist die Steigung - sie zeigt dir, ob die Gerade steigt (m > 0), waagerecht verläuft m=0m = 0 oder fällt (m < 0). b ist der y-Achsenabschnitt - der Punkt, wo deine Gerade die y-Achse schneidet.

Mit dem Steigungsdreieck findest du die Steigung raus: Du zählst einfach die Länge der senkrechten Seite und teilst sie durch die waagerechte Seite. Das ergibt einen Bruch, der deine Steigung ist!

Merktipp: Bei linearen Funktionen mit b = 0 spricht man von Ursprungsgeraden - sie gehen direkt durch den Nullpunkt!

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Steigung berechnen und wichtige Punkte finden

Die Steigungsformel m = y2y1y₂-y₁/x2x1x₂-x₁ ist dein Geheimrezept! Du suchst dir zwei markante Punkte auf der Geraden aus und setzt ihre Koordinaten in die Formel ein. Super praktisch, wenn das Steigungsdreieck schwer abzulesen ist.

Den Y-Achsenabschnitt findest du, indem du schaust, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Bei der Funktion f(x) = 2x - 3 ist der y-Achsenabschnitt einfach -3.

Nullstellen berechnen funktioniert anders: Du setzt f(x) = 0 und löst nach x auf. Bei 0 = -2x + 1 rechnest du +2x, dann durch 2 teilen und kriegst x = 1/2. Die Nullstelle liegt also bei (1/2|0).

Praxis-Tipp: Nullstellen sind mega wichtig für Textaufgaben - sie zeigen dir oft, wann etwas den Wert Null erreicht!

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Funktionsgraphen zeichnen und Gleichungen bestimmen

Funktionsgraph zeichnen ist wie ein Rezept: Erst den y-Achsenabschnitt einzeichnen, dann die Steigung ablesen und das Steigungsdreieck vom y-Achsenabschnitt aus zeichnen. Bei f(x) = 2/4 x + 2 gehst du 4 Schritte nach rechts und 2 nach oben. Zum Schluss verbindest du die Punkte mit einer geraden Linie.

Funktionsgleichung bestimmen geht zwei Wege: Wenn der Graph da ist, liest du b ab und zeichnest ein Steigungsdreieck für m. Wenn du nur zwei Punkte hast, berechnest du erst m mit der Steigungsformel, dann setzt du einen Punkt in y = mx + b ein und löst nach b auf.

Beispiel: P(5|6) und Q(4|3) ergeben m = (3-6)/(4-5) = 3. Mit P eingesetzt: 6 = 3·5 + b, also b = -9. Fertig: f(x) = 3x - 9!

Erfolgs-Tipp: Mach immer eine Probe mit dem zweiten Punkt - so merkst du Rechenfehler sofort!

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Besondere Geraden und ihre Lage

Waagerechte Geraden haben die Steigung m = 0 und die Gleichung f(x) = b. Sie verlaufen parallel zur x-Achse - total einfach zu zeichnen! Senkrechte Geraden sind technisch keine Funktionen mehr, weil einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet sind. Ihre Gleichung ist einfach x = c.

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Sie treffen sich nie! Geraden mit eindeutigem Schnittpunkt haben verschiedene Steigungen.

Den Schnittpunkt findest du, indem du die Funktionen gleichsetzt: f(x) = g(x). Das ergibt eine Gleichung mit nur noch x, die du lösen kannst. Den x-Wert setzt du dann in eine der Funktionen ein, um den y-Wert zu bekommen.

Wichtig: Mach immer die Probe, indem du x auch in die andere Funktion einsetzt!

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Schnittpunkte berechnen - Schritt für Schritt

Bei Schnittpunkten checkst du erst: Haben die Geraden verschiedene Steigungen? Dann gibt's einen Schnittpunkt! Du setzt f(x) = g(x) und löst nach x auf.

Beispiel: f(x) = 2x - 2 und g(x) = -2/3x + 6. Gleichsetzen: 2x - 2 = -2/3x + 6. Nach x auflösen ergibt x = 3. Einsetzen in f(x): f(3) = 2·3 - 2 = 4. Probe: g(3) = -2/3·3 + 6 = 4 ✓

Grafisch geht's auch: Beide Funktionen zeichnen und den Schnittpunkt ablesen. Das ist super zur Kontrolle, aber rechnerisch ist meist genauer.

Der Schnittpunkt liegt also bei (3|4) - dort treffen sich beide Geraden!

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Gleichungssysteme - Das Gleichsetzungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme haben zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (x und y). Du suchst Zahlen, die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen - wie ein Rätsel mit zwei Hinweisen!

Beim Gleichsetzungsverfahren formst du beide Gleichungen nach derselben Variable um. Dann setzt du sie gleich und löst nach der anderen Variable auf.

Beispiel: Aus 2x - 3y = -2 wird x = -1 + 1,5y und aus -3x + 6y = 0 wird x = 2y. Gleichsetzen: -1 + 1,5y = 2y ergibt y = -2. Das setzt du in eine Gleichung ein: x = 2(-2) = -4.

Probe nicht vergessen! Setze x = -4 und y = -2 in beide ursprünglichen Gleichungen ein und check, ob's stimmt.

Erfolgs-Strategie: Das Gleichsetzungsverfahren ist perfekt, wenn eine Gleichung schon nach x oder y aufgelöst ist!

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Kriegst du dagegen 0 = 0 oder 3,5 = 3,5 raus (eine immer wahre Aussage), dann hat das System unendlich viele Lösungen. Die beiden Gleichungen beschreiben eigentlich dieselbe Gerade!

Beispiel für keine Lösung: -3x + 6y = 3 und 2x - 4y = 3 ergeben nach Umformen -1 = 1,5. Unmöglich!

Beispiel für unendlich viele Lösungen: 2x - 5y = 7 und -4x + 10y = -14 ergeben beide x = 3,5 + 2,5y. Identisch!

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Schritt-für-Schritt: Bei 2x - 3y = -4 und 3x + y = 5 multiplizierst du die zweite Gleichung mit 3, damit aus +y wird +3y. Jetzt hast du -3y und +3y, die sich zu 0 addieren.

Nach dem Multiplizieren: 2x - 3y = -4 und 9x + 3y = 15. Addieren: 11x = 11, also x = 1. Das x setzt du in eine ursprüngliche Gleichung ein: 3(1) + y = 5, also y = 2.

Lösung: x = 1, y = 2. Das bedeutet: Die Geraden schneiden sich im Punkt (1|2)!

Pro-Tipp: Das Additionsverfahren ist super, wenn die Koeffizienten schon ähnlich sind oder leicht angepasst werden können!

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Kommt 0 = 0 raus, hat das System unendlich viele Lösungen. Die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade - sie "berühren" sich an allen Punkten.

Beispiel keine Lösung: -3x + 6y = 6 und 3x - 6y = 15 ergeben beim Addieren 0 = 21. Unmöglich!

Beispiel unendlich viele Lösungen: 8x - 2y = 6 und -8x + 2y = -6 ergeben 0 = 0. Die Gleichungen sind identisch!

Durchblick-Tipp: Egal welches Verfahren du verwendest - die besonderen Fälle erkennst du immer an falschen Aussagen (keine Lösung) oder wahren Aussagen wie 0 = 0 (unendlich viele Lösungen)!

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

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Smarte Tools NEU

Verwandle diese Notizen in: ✓ 50+ Übungsaufgaben ✓ Interaktive Karteikarten ✓ Vollständige Probeklausur ✓ Aufsatz-Gliederungen

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Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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