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Mathematik

Gleichungen der Kegelschnitte

Normalform einer Parabel

Mathe1.319Aktualisiert 21. Sept. 20264 Seiten

Einführung in Lineare und Quadratische Funktionen

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Lineare, quadratische und Potenzfunktionen sind die Grundbausteine der Analysis - und ehrlich gesagt viel einfacher als sie aussehen! Diese drei Funktionstypen begegnen dir ständig in Klausuren und im Abitur, deshalb lohnt es sich richtig, sie zu verstehen.
Lineare Funktionen und Quadratische Funktionen – Seite 1

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Lineare Funktionen

Du kennst sie schon aus der Mittelstufe: Lineare Funktionen haben die Form fxx = mx + b. Das m ist die Steigung und das b der y-Achsenabschnitt - super simpel!

Wenn du zwei Punkte gegeben hast, rechnest du die Steigung mit m = y2−y1y₂ - y₁/x2−x1x₂ - x₁. Dann setzt du einen Punkt in die Gleichung ein und löst nach b auf. Fertig ist deine Funktionsgleichung!

Bei Schnittpunkten setzt du beide Funktionen gleich und löst nach x auf. Den Schnittwinkel berechnest du über die Steigungen: Erst mit tan(α) = m den Winkel jeder Geraden bestimmen, dann die Differenz bilden.

Tipp: Mit der Punktprobe checkst du schnell, ob deine Lösung stimmt - einfach die Koordinaten in beide Funktionen einsetzen!

Lineare Funktionen und Quadratische Funktionen – Seite 2

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Quadratische Funktionen

Parabeln sind eigentlich nur U-förmige Kurven, die dir das Leben leicht machen wollen! Die allgemeine Form fxx = ax² + bx + c kennst du, aber die Scheitelpunktform fxx = ax−dx - d² + e ist oft praktischer.

Aus der Scheitelpunktform liest du den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ab. Das a zeigt dir, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder unten (a < 0) geöffnet ist und wie breit sie wird.

Nullstellen findest du mit der Mitternachtsformel: x₁,₂ = −b±√(b2−4ac)-b ± √(b² - 4ac)/(2a). Der y-Achsenabschnitt ist super einfach - setz einfach x = 0 ein!

Merktipp: Zwischen den beiden Formen wechselst du durch quadratische Ergänzung oder Ausmultiplizieren - das ist nur Übungssache!

Lineare Funktionen und Quadratische Funktionen – Seite 3

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Schnittpunkte von Parabeln und Geraden

Hier wird's richtig spannend! Je nachdem, wie eine Gerade zu einer Parabel liegt, entstehen verschiedene Situationen - und die Diskriminante (der Wert unter der Wurzel) verrät dir alles.

Bei einer Tangente berührt die Gerade die Parabel in genau einem Punkt. Die Diskriminante ist null, du bekommst eine doppelte Lösung. Bei einer Sekante schneidet die Gerade die Parabel zweimal - die Diskriminante ist positiv.

Eine Passante verfehlt die Parabel komplett. Die Diskriminante ist negativ, du bekommst keine reelle Lösung. Das ist völlig normal und kein Fehler!

Klausurtipp: Gleichsetzen, umformen zur Standardform ax² + bx + c = 0, dann Diskriminante prüfen - so weißt du sofort, was dich erwartet!

Lineare Funktionen und Quadratische Funktionen – Seite 4

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Potenzfunktionen

Potenzfunktionen fxx = xⁿ verhalten sich je nach Exponent n völlig unterschiedlich - aber mit System! Du musst nur vier Grundtypen draufhaben.

Bei geradem, positivem n (wie x²) hast du U-förmige Kurven, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Bei ungeradem, positivem n (wie x³) entstehen S-förmige Kurven, die punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen.

Negative Exponenten bringen Hyperbeln ins Spiel. Bei geradem, negativem n (wie x⁻²) hast du wieder Achsensymmetrie, bei ungeradem, negativem n (wie x⁻³) Punktsymmetrie - aber beide nähern sich den Achsen an.

Eselsbrücke: Gerade Exponenten = Achsensymmetrie, ungerade Exponenten = Punktsymmetrie. Das gilt immer!

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