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Tara
8.12.2025
Mathe
Lineare und quadratische Funktionen
139
•
8. Dez. 2025
•
Tara
@tara_hau
Funktionen sind das A und O der Mathematik in der... Mehr anzeigen
Stell dir vor, du hast eine Regel, die jeder Zahl genau eine andere Zahl zuordnet - das ist eine Funktion! Der Unterschied zu normalen Zuordnungen: Bei Funktionen ist alles eindeutig.
Eine Zuordnung verbindet Elemente aus der Definitionsmenge mit der Wertemenge . Nur wenn jeder x-Wert genau einen y-Wert bekommt, hast du eine Funktion.
Die wichtigsten Begriffe kennst du bestimmt schon: Funktionsstellen sind deine x-Werte, Funktionswerte sind die y-Werte wie f(2) = 13. Der Funktionsterm ist das, was rechts vom Gleichheitszeichen steht - zum Beispiel x³ + 5.
💡 Merkregel: Eine Funktion ist wie ein Automat - gibst du oben eine Zahl rein, kommt unten immer genau eine Zahl raus!
Funktionen kannst du auf fünf verschiedene Arten darstellen - alle zeigen dasselbe, nur anders verpackt. Das ist super praktisch, weil du je nach Aufgabe die beste Form wählen kannst.
Die Zuordnungsvorschrift beschreibt in Worten, was passiert: "Jeder Zahl wird das 0,5-fache zugeordnet." Als Funktionsgleichung schreibst du f(x) = 0,5x, in Pfeilschreibweise f: x → 0,5x.
Wertetabellen sind perfekt für konkrete Berechnungen - du siehst sofort, dass f(2) = 1 ist. Der Funktionsgraph zeigt dir das große Ganze und macht Zusammenhänge visuell klar.
💡 Tipp: In Klausuren oft gefragt - übe das Umwandeln zwischen den verschiedenen Formen!
Die mathematische Schreibweise für Definitions- und Wertemengen sieht kompliziert aus, folgt aber klaren Regeln. Mit der richtigen Notation punktest du in jeder Klausur!
ℝ bedeutet "alle reellen Zahlen", ℝ{0} heißt "alle außer der Null". Positive Zahlen schreibst du als ℝ⁺, mit Null dabei wird's zu ℝ₀⁺.
Intervalle schreibst du mit eckigen Klammern: bedeutet "von 7 bis 10 einschließlich". Bei [7;∞[ ist die 7 dabei, unendlich aber nicht (deshalb runde Klammer). Einzelne Zahlen sammelst du in geschweiften Klammern: {7;8;10}.
💡 Eselsbrücke: Eckige Klammer = dabei, runde Klammer = nicht dabei!
Lineare Funktionen haben die Form f(x) = mx + n und ergeben immer eine Gerade. Das m ist die Steigung, das n der y-Achsenabschnitt - diese beiden Zahlen bestimmen alles!
Die Steigung berechnest du mit dem Differenzenquotienten: m = /. Das zeigt dir, wie steil die Gerade ist und in welche Richtung sie läuft.
Positive Steigung bedeutet "bergauf", negative "bergab". Bei m = 2 steigst du pro Schritt nach rechts um 2 nach oben, bei m = -1 gehst du 1 nach unten.
💡 Merkregel: Steigung = "Wie weit hoch pro 1 nach rechts"
Der Steigungswinkel α zeigt dir, wie steil eine Gerade wirklich ist. Bei positiver Steigung rechnest du α = tan⁻¹(m), bei negativer Steigung wird's komplizierter: α = 180° - |tan⁻¹(m)|.
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte - sie laufen nebeneinander her, ohne sich zu treffen. Identische Geraden sind komplett gleich.
Schneidende Geraden haben unterschiedliche Steigungen und treffen sich in genau einem Punkt. Das ist der häufigste Fall in Aufgaben!
💡 Tipp: Vergleiche immer zuerst die Steigungen - das sagt dir sofort, welcher Fall vorliegt!
Um Schnittpunkte zu finden, setzt du die Funktionsterme gleich und löst nach x auf. Den x-Wert setzt du dann in eine der Gleichungen ein und bekommst den y-Wert.
Beim Beispiel f(x) = -0,5x + 2 und g(x) = x - 1 ergibt das: -0,5x + 2 = x - 1, also x = 2. Einsetzen: y = 1, damit ist S(2|1) der Schnittpunkt.
Der Schnittwinkel ist immer kleiner als 90°. Du berechnest erst beide Steigungswinkel und bildest dann die Differenz. Falls das Ergebnis größer als 90° ist, rechnest du 180° minus diesem Wert.
💡 Achtung: Der Schnittwinkel ist immer der kleinere der beiden möglichen Winkel!
Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander und haben eine besondere Eigenschaft: Das Produkt ihrer Steigungen ergibt immer -1. Also m₁ · m₂ = -1.
Wenn eine Gerade die Steigung -1/3 hat, muss die orthogonale Gerade die Steigung 3 haben, denn (-1/3) · 3 = -1. Das funktioniert immer!
Diese Regel ist super praktisch, um schnell zu prüfen, ob zwei Geraden senkrecht stehen oder um die Steigung einer senkrechten Gerade zu finden.
💡 Merksatz: Orthogonale Steigungen sind negative Kehrwerte voneinander!
Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + bx + c (Standardform) oder f(x) = a² + e (Scheitelpunktform). Ihr Graph ist immer eine Parabel.
Der Parameter a bestimmt alles Wichtige: Ist a > 1, wird die Parabel gestreckt. Bei 0 < a < 1 wird sie gestaucht. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten.
In der Scheitelpunktform siehst du sofort den Scheitelpunkt S(d|e). Das d verschiebt in x-Richtung, das e in y-Richtung. Die Normalparabel f(x) = x² ist dein Ausgangspunkt für alle Transformationen.
💡 Tipp: Scheitelpunktform ist oft praktischer - da siehst du Verschiebungen sofort!
Um von der Standardform zur Scheitelpunktform zu kommen, brauchst du die quadratische Ergänzung. Das klingt schwer, folgt aber einem festen Schema.
Beim Beispiel f(x) = -3x² - 6x + 9 klammerst du zuerst den Faktor vor x² aus: f(x) = -3 + 9. Dann ergänzt du in der Klammer zur binomischen Formel.
Du addierst und subtrahierst 1²: f(x) = -3 + 9 = -3² + 12. Wichtig: Was du in der Klammer subtrahierst, multiplizierst du mit dem ausgeklammerten Faktor!
💡 Schlüssel: Binomische Formeln (a ± b)² = a² ± 2ab + b² sind das A und O!
Nullstellen sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet - also wo f(x) = 0 ist. Mit der pq-Formel findest du sie systematisch.
Die Formel x₁,₂ = -p/2 ± √ funktioniert bei x² + px + q = 0. Wichtig: Du musst vorher durch den Faktor vor x² teilen!
Im Beispiel wird aus -3x² - 6x + 9 = 0 erst x² + 2x - 3 = 0. Mit p = 2 und q = -3 ergibt das x₁,₂ = -1 ± 2, also x₁ = 1 und x₂ = -3.
💡 Check: Setze deine Nullstellen zur Kontrolle in die ursprüngliche Gleichung ein!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Tara
@tara_hau
Funktionen sind das A und O der Mathematik in der Oberstufe - sie begegnen dir in jeder Klausur und im Abitur! Hier lernst du alles von den Grundlagen bis zu quadratischen Funktionen, was du für deine Prüfungen brauchst.
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Stell dir vor, du hast eine Regel, die jeder Zahl genau eine andere Zahl zuordnet - das ist eine Funktion! Der Unterschied zu normalen Zuordnungen: Bei Funktionen ist alles eindeutig.
Eine Zuordnung verbindet Elemente aus der Definitionsmenge mit der Wertemenge . Nur wenn jeder x-Wert genau einen y-Wert bekommt, hast du eine Funktion.
Die wichtigsten Begriffe kennst du bestimmt schon: Funktionsstellen sind deine x-Werte, Funktionswerte sind die y-Werte wie f(2) = 13. Der Funktionsterm ist das, was rechts vom Gleichheitszeichen steht - zum Beispiel x³ + 5.
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Positive Steigung bedeutet "bergauf", negative "bergab". Bei m = 2 steigst du pro Schritt nach rechts um 2 nach oben, bei m = -1 gehst du 1 nach unten.
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Der Steigungswinkel α zeigt dir, wie steil eine Gerade wirklich ist. Bei positiver Steigung rechnest du α = tan⁻¹(m), bei negativer Steigung wird's komplizierter: α = 180° - |tan⁻¹(m)|.
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Um Schnittpunkte zu finden, setzt du die Funktionsterme gleich und löst nach x auf. Den x-Wert setzt du dann in eine der Gleichungen ein und bekommst den y-Wert.
Beim Beispiel f(x) = -0,5x + 2 und g(x) = x - 1 ergibt das: -0,5x + 2 = x - 1, also x = 2. Einsetzen: y = 1, damit ist S(2|1) der Schnittpunkt.
Der Schnittwinkel ist immer kleiner als 90°. Du berechnest erst beide Steigungswinkel und bildest dann die Differenz. Falls das Ergebnis größer als 90° ist, rechnest du 180° minus diesem Wert.
💡 Achtung: Der Schnittwinkel ist immer der kleinere der beiden möglichen Winkel!
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Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander und haben eine besondere Eigenschaft: Das Produkt ihrer Steigungen ergibt immer -1. Also m₁ · m₂ = -1.
Wenn eine Gerade die Steigung -1/3 hat, muss die orthogonale Gerade die Steigung 3 haben, denn (-1/3) · 3 = -1. Das funktioniert immer!
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💡 Merksatz: Orthogonale Steigungen sind negative Kehrwerte voneinander!
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Quadratische Funktionen haben die Form f(x) = ax² + bx + c (Standardform) oder f(x) = a² + e (Scheitelpunktform). Ihr Graph ist immer eine Parabel.
Der Parameter a bestimmt alles Wichtige: Ist a > 1, wird die Parabel gestreckt. Bei 0 < a < 1 wird sie gestaucht. Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten.
In der Scheitelpunktform siehst du sofort den Scheitelpunkt S(d|e). Das d verschiebt in x-Richtung, das e in y-Richtung. Die Normalparabel f(x) = x² ist dein Ausgangspunkt für alle Transformationen.
💡 Tipp: Scheitelpunktform ist oft praktischer - da siehst du Verschiebungen sofort!
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Um von der Standardform zur Scheitelpunktform zu kommen, brauchst du die quadratische Ergänzung. Das klingt schwer, folgt aber einem festen Schema.
Beim Beispiel f(x) = -3x² - 6x + 9 klammerst du zuerst den Faktor vor x² aus: f(x) = -3 + 9. Dann ergänzt du in der Klammer zur binomischen Formel.
Du addierst und subtrahierst 1²: f(x) = -3 + 9 = -3² + 12. Wichtig: Was du in der Klammer subtrahierst, multiplizierst du mit dem ausgeklammerten Faktor!
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Nullstellen sind die Stellen, wo der Graph die x-Achse schneidet - also wo f(x) = 0 ist. Mit der pq-Formel findest du sie systematisch.
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Im Beispiel wird aus -3x² - 6x + 9 = 0 erst x² + 2x - 3 = 0. Mit p = 2 und q = -3 ergibt das x₁,₂ = -1 ± 2, also x₁ = 1 und x₂ = -3.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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