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Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Funktion

Mathe2.486Aktualisiert 26. Okt. 20265 Seiten

Lineare und Quadratische Funktionen verstehen

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Lineare und quadratische Funktionen sind die Grundbausteine der Mathematik, die dir überall im Leben begegnen - von Handytarifen bis hin zu Flugbahnen von Bällen. Mit den richtigen Tricks kannst du diese Funktionen schnell verstehen und sicher anwenden.
Lineare und quadratische Funktionen – Seite 1

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Lineare Funktionen - Die Basics

Lineare Funktionen erkennst du sofort an ihrer Funktionsgleichung y = mx + b. Das m ist die Steigung (wie steil die Gerade ist) und das b der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).

Die Steigung verrät dir alles: m > 0 bedeutet steigende Gerade, m = 0 ist waagerecht und m < 0 fällt. Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung haben, sind sie parallel - haben sie verschiedene Steigungen, schneiden sie sich irgendwo.

Nullstellen findest du, indem du fxx = 0 setzt und nach x auflöst. Den y-Achsenabschnitt bekommst du, wenn du x = 0 einsetzt. Bei einer Punktprobe setzt du einfach die Koordinaten in die Gleichung ein - stimmt's, liegt der Punkt auf der Geraden.

Merktrick: Bei orthogonalen (senkrechten) Geraden gilt immer: m₁ · m₂ = -1

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Steigung und Winkel berechnen

Den Steigungswinkel berechnest du mit α = arctanmm. Bei positiver Steigung ist das straightforward, bei negativer Steigung musst du aufpassen: α = 180° - arctan(|m|), weil der Winkel größer als 90° ist.

Die Steigung zwischen zwei Punkten kriegst du mit der Formel m = y2−y1y₂ - y₁/x2−x1x₂ - x₁. Das ist eigentlich nur "wie viel geht's hoch" geteilt durch "wie weit geht's zur Seite".

Orthogonale Geraden sind besonders wichtig: Ihre Steigungen multipliziert ergeben immer -1. Beispiel: m₁ = 4/5 und m₂ = -5/4 → 4/54/5 · −5/4-5/4 = -1, also sind die Geraden senkrecht zueinander.

Praxis-Tipp: Zeichne dir ein Steigungsdreieck - das macht die Steigungsberechnung viel anschaulicher!

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Quadratische Funktionen verstehen

Quadratische Funktionen haben die Form fxx = ax² + bx + c (allgemeine Form) oder fxx = ax−dx-d² + e (Scheitelpunktform). Der Scheitelpunkt S(d|e) ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.

Der Streckfaktor a bestimmt alles: |a| = 1 ist die Normalparabel, |a| < 1 macht sie breiter, |a| > 1 enger. Ist a positiv, öffnet sich die Parabel nach oben, ist a negativ, nach unten.

Die quadratische Ergänzung wandelt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um. Dabei klammerst du zuerst a aus, ergänzt dann zur binomischen Formel und fasst zusammen. Das ist oft einfacher als es aussieht!

Durchblick: Die Scheitelpunktform verrät dir sofort, wo der Scheitelpunkt liegt - einfach ablesen!

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Nullstellen finden leicht gemacht

Nullstellen berechnest du mit zwei Methoden: Dem Satz vom Nullprodukt (wenn du x ausklammern kannst) oder der pq-Formel x₁,₂ = -p/2 ± √(p/2)2−q(p/2)² - q.

Beim Satz vom Nullprodukt klammerst du x aus und setzt jeden Faktor gleich null. Bei der pq-Formel musst du vorher durch den Faktor vor x² teilen, damit dort 1 steht.

Schnittpunkte von zwei Graphen findest du, indem du die Gleichungen gleichsetzt. Die Diskriminante (der Wert unter der Wurzel) verrät dir: positiv = 2 Schnittpunkte (Sekante), null = 1 Schnittpunkt (Tangente), negativ = 0 Schnittpunkte (Passante).

Erfolgsgarantie: Überprüfe deine Nullstellen immer durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung!

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Lineare Gleichungssysteme meistern

Lineare Gleichungssysteme brauchst du, um aus drei Punkten eine Parabelgleichung zu finden. Du setzt jeden Punkt in fxx = ax² + bx + c ein und erhältst drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Drei Lösungsverfahren stehen zur Auswahl: Gleichsetzungsverfahren (beide nach einer Variable auflösen), Einsetzungsverfahren (eine Gleichung auflösen und einsetzen) oder Additionsverfahren (Gleichungen so multiplizieren, dass sich eine Variable weghebt).

Das Einsetzungsverfahren ist meist am schnellsten. Löse die einfachste Gleichung nach einer Variable auf und setze das Ergebnis in die anderen ein. So reduzierst du schrittweise die Anzahl der Unbekannten.

Profi-Trick: Beginne immer mit der einfachsten Gleichung - das spart Zeit und Nerven!

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