Emma Felsner

16.11.2025

Mathe

Lineare Zusammenhänge

Mathematik

Lineare Gleichungen und Graphen

Lineare Gleichung

704

•

16. Nov. 2025

•

5 Seiten

Einführung in Lineare Zusammenhänge

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Emma Felsner

@emmafelsner_01

Lineare Zusammenhänge bilden die Grundlage für viele mathematische Konzepte. Sie... Mehr anzeigen

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Lineare Funktionen

Lineare Funktionen folgen immer der allgemeinen Gleichung f(x) = y = mx + n. Hierbei ist m der Anstieg (die Steigung) und n der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Der Anstieg m bestimmt die Monotonie der Funktion:

m > 0: Die Funktion ist monoton steigend
m < 0: Die Funktion ist monoton fallend
m = 0: Die Funktion ist konstant (horizontale Gerade)

Zwei Geraden können verschiedene Lagebeziehungen haben:

Identisch: Beide Geraden haben gleichen Anstieg $m₁ = m₂$ und gleichen y-Achsenabschnitt $n₁ = n₂$
Echt parallel: Gleicher Anstieg $m₁ = m₂$ , aber verschiedene y-Achsenabschnitte (n₁ ≠ n₂)
Schneidend: Verschiedene Anstiege (m₁ ≠ m₂) mit genau einem Schnittpunkt

💡 Merkhilfe: Bei senkrecht zueinander stehenden Geraden gilt eine besondere Beziehung: Wenn eine Gerade den Anstieg m hat, hat die senkrechte Gerade den Anstieg -1/m.

Eine lineare Funktion kannst du auf zwei Arten zeichnen:

Mit dem Steigungsdreieck: Trage den y-Achsenabschnitt ein und gehe dann entsprechend des Anstiegs weiter
Mit einer Wertetabelle: Berechne zu verschiedenen x-Werten die zugehörigen y-Werte

Funktionsgleichungen und Berechnungen

Du kannst eine Funktionsgleichung auf verschiedene Arten bestimmen:

Variante a: Berechne den Anstieg m mit der Formel m = Δy/Δx und bestimme dann n mithilfe eines bekannten Punktes
Variante b: Nutze die Punkt-Steigungsform y - y₁ = m· $x - x₁$
Variante c: Bei zwei bekannten Funktionen kannst du Additions-, Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren nutzen

An Funktionen kannst du verschiedene Berechnungen durchführen:

Punktprobe: Prüfe, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, indem du die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt.

Nullstellen berechnen: Setze y = 0 und löse die Gleichung nach x auf.

Senkrechte Funktionen: Bestimme erst den Anstieg $m₂ = -1/m₁$ und dann den y-Achsenabschnitt n.

🔍 Wichtig: Beim Berechnen von Schnittwinkeln zwischen zwei Funktionen gilt die Formel tan α = $m₂-m₁$ / $1+m₁·m₂$ . Denke daran, immer den kleineren Winkel zu nehmen!

Bei Winkeln zwischen einer Funktion und der x-Achse reicht die einfachere Formel tan α = m aus, da die x-Achse den Anstieg 0 hat.

Lineare Ungleichungen und Betragsgleichungen

Bei linearen Ungleichungen musst du aufpassen: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst/dividierst oder die Seiten tauschst, musst du das Relationszeichen (>, <, ≥, ≤) umdrehen!

Der Betrag einer Zahl ist immer ihr Abstand zur Null auf der Zahlengerade. Daher ist ein Betrag immer positiv.

Bei Betragsgleichungen wie |3x-5| = 7 musst du zwei Fälle unterscheiden:

Positiver Fall (+): 3x-5 = 7 → x = 4
Negativer Fall (-): 3x-5 = -7 → x = -2/3

Prüfe deine Lösungen immer mit einer Probe! Bei Betragsgleichungen lohnt es sich, zuerst den Betrag auszurechnen. Ist dieser negativ, ist die Lösung nicht definiert.

🧠 Denk daran: Bei Betragsgleichungen wie |3x-5| = -7 gibt es keine Lösung, da ein Betrag nie negativ sein kann!

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten können unterschiedliche Lösungsmengen haben:

Unendlich viele Lösungen (bei identischen Geraden)
Keine Lösung (bei echt parallelen Geraden)
Genau eine Lösung (bei sich schneidenden Geraden)

Rechnerische Verfahren und 3D-Anwendungen

Für lineare Gleichungssysteme gibt es drei Hauptverfahren:

Gleichsetzungsverfahren: Stelle beide Gleichungen nach derselben Variable um und setze sie gleich.
Additionsverfahren: Multipliziere die Gleichungen so, dass sich beim Addieren eine Variable weghebt.
Einsetzungsverfahren: Löse eine Gleichung nach einer Variable auf und setze den Term in die andere Gleichung ein.

Bei Gleichungssystemen mit drei Unbekannten kannst du:

Das Einsetzungsverfahren mehrfach anwenden
Das Gauß-Verfahren nutzen, bei dem du schrittweise Variablen eliminierst

💡 Tipp: Das Gauß-Verfahren ist systematischer und weniger fehleranfällig als das mehrfache Einsetzen, besonders bei komplexeren Systemen.

Bei linearen Bruchgleichungen ist es wichtig, den Definitionsbereich zu beachten. Die Nenner dürfen nicht null werden!

Lösungsansätze für Bruchgleichungen:

Hauptnenner bilden und mit diesem multiplizieren
Kehrwerte bilden
Mit dem Nenner multiplizieren, um Brüche zu eliminieren

Du kannst auch prüfen, ob die Gleichung immer wahr ist (erhältst dann den gesamten Definitionsbereich als Lösung) oder ob sie keinen Sinn ergibt.

Geraden im dreidimensionalen Raum

Geraden im dreidimensionalen Raum werden durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor beschrieben:

g: $\vec{x} = \vec{OA} + t \cdot \vec{AB}$

Um Punkte auf der Geraden zu finden, setze verschiedene Werte für den Parameter t ein.

Die Lagebeziehungen von Geraden im Raum sind komplexer als in der Ebene:

Identisch: Unendlich viele gemeinsame Punkte
Echt parallel: Keine gemeinsamen Punkte
Schneidend: Genau ein gemeinsamer Punkt
Windschief: Keine gemeinsamen Punkte $nur im 3D-Raum möglich!$

⚠️ Beachte: Im 3D-Raum können zwei Geraden mit verschiedenen Richtungsvektoren entweder einen Schnittpunkt haben ODER windschief sein. Das ist ein wichtiger Unterschied zum 2D-Raum!

Um die Lagebeziehung zweier Geraden zu untersuchen:

Prüfe, ob die Richtungsvektoren parallel sind (ein Vielfaches voneinander)
Falls parallel: Prüfe, ob ein Punkt der ersten Geraden auf der zweiten liegt
Falls nicht parallel: Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und prüfe, ob es lösbar ist

Lineare Bruchgleichungen löst du durch Umformen oder Kürzen und beachte stets den Definitionsbereich, um Fehler zu vermeiden.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Lineare Zusammenhänge bilden die Grundlage für viele mathematische Konzepte. Sie helfen uns, Beziehungen zwischen Variablen zu beschreiben und zu analysieren. In diesen Notizen lernst du alles über lineare Funktionen, Gleichungen und ihre Anwendungen in verschiedenen Dimensionen.

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Lineare Funktionen

Lineare Funktionen folgen immer der allgemeinen Gleichung f(x) = y = mx + n. Hierbei ist m der Anstieg (die Steigung) und n der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Der Anstieg m bestimmt die Monotonie der Funktion:

m > 0: Die Funktion ist monoton steigend
m < 0: Die Funktion ist monoton fallend
m = 0: Die Funktion ist konstant (horizontale Gerade)

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Identisch: Beide Geraden haben gleichen Anstieg $m₁ = m₂$ und gleichen y-Achsenabschnitt $n₁ = n₂$
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💡 Merkhilfe: Bei senkrecht zueinander stehenden Geraden gilt eine besondere Beziehung: Wenn eine Gerade den Anstieg m hat, hat die senkrechte Gerade den Anstieg -1/m.

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Funktionsgleichungen und Berechnungen

Du kannst eine Funktionsgleichung auf verschiedene Arten bestimmen:

Variante a: Berechne den Anstieg m mit der Formel m = Δy/Δx und bestimme dann n mithilfe eines bekannten Punktes
Variante b: Nutze die Punkt-Steigungsform y - y₁ = m· $x - x₁$
Variante c: Bei zwei bekannten Funktionen kannst du Additions-, Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren nutzen

An Funktionen kannst du verschiedene Berechnungen durchführen:

Punktprobe: Prüfe, ob ein Punkt auf einer Funktion liegt, indem du die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt.

Nullstellen berechnen: Setze y = 0 und löse die Gleichung nach x auf.

Senkrechte Funktionen: Bestimme erst den Anstieg $m₂ = -1/m₁$ und dann den y-Achsenabschnitt n.

🔍 Wichtig: Beim Berechnen von Schnittwinkeln zwischen zwei Funktionen gilt die Formel tan α = $m₂-m₁$ / $1+m₁·m₂$ . Denke daran, immer den kleineren Winkel zu nehmen!

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Lineare Ungleichungen und Betragsgleichungen

Bei linearen Ungleichungen musst du aufpassen: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst/dividierst oder die Seiten tauschst, musst du das Relationszeichen (>, <, ≥, ≤) umdrehen!

Der Betrag einer Zahl ist immer ihr Abstand zur Null auf der Zahlengerade. Daher ist ein Betrag immer positiv.

Bei Betragsgleichungen wie |3x-5| = 7 musst du zwei Fälle unterscheiden:

Positiver Fall (+): 3x-5 = 7 → x = 4
Negativer Fall (-): 3x-5 = -7 → x = -2/3

Prüfe deine Lösungen immer mit einer Probe! Bei Betragsgleichungen lohnt es sich, zuerst den Betrag auszurechnen. Ist dieser negativ, ist die Lösung nicht definiert.

🧠 Denk daran: Bei Betragsgleichungen wie |3x-5| = -7 gibt es keine Lösung, da ein Betrag nie negativ sein kann!

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Für lineare Gleichungssysteme gibt es drei Hauptverfahren:

Gleichsetzungsverfahren: Stelle beide Gleichungen nach derselben Variable um und setze sie gleich.
Additionsverfahren: Multipliziere die Gleichungen so, dass sich beim Addieren eine Variable weghebt.
Einsetzungsverfahren: Löse eine Gleichung nach einer Variable auf und setze den Term in die andere Gleichung ein.

Bei Gleichungssystemen mit drei Unbekannten kannst du:

Das Einsetzungsverfahren mehrfach anwenden
Das Gauß-Verfahren nutzen, bei dem du schrittweise Variablen eliminierst

💡 Tipp: Das Gauß-Verfahren ist systematischer und weniger fehleranfällig als das mehrfache Einsetzen, besonders bei komplexeren Systemen.

Bei linearen Bruchgleichungen ist es wichtig, den Definitionsbereich zu beachten. Die Nenner dürfen nicht null werden!

Lösungsansätze für Bruchgleichungen:

Hauptnenner bilden und mit diesem multiplizieren
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Du kannst auch prüfen, ob die Gleichung immer wahr ist (erhältst dann den gesamten Definitionsbereich als Lösung) oder ob sie keinen Sinn ergibt.

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Geraden im dreidimensionalen Raum

Geraden im dreidimensionalen Raum werden durch einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor beschrieben:

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Um Punkte auf der Geraden zu finden, setze verschiedene Werte für den Parameter t ein.

Die Lagebeziehungen von Geraden im Raum sind komplexer als in der Ebene:

Identisch: Unendlich viele gemeinsame Punkte
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⚠️ Beachte: Im 3D-Raum können zwei Geraden mit verschiedenen Richtungsvektoren entweder einen Schnittpunkt haben ODER windschief sein. Das ist ein wichtiger Unterschied zum 2D-Raum!

Um die Lagebeziehung zweier Geraden zu untersuchen:

Prüfe, ob die Richtungsvektoren parallel sind (ein Vielfaches voneinander)
Falls parallel: Prüfe, ob ein Punkt der ersten Geraden auf der zweiten liegt
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Samantha Klich

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Jana V

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Marcus B

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Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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