Lineare Funktionen - Die Geraden

Lineare Funktionen erkennst du sofort: Es gibt nur ein x, niemals x² oder x³. Die Formel ist super simpel: f$x$ = mx + b.

Das m ist die Steigung - sie zeigt dir, wie steil deine Gerade ist. Ist m > 0, steigt die Gerade. Bei m = 0 verläuft sie waagerecht. Und wenn m < 0 ist, fällt sie ab.

Die Steigung berechnest du entweder mit einem Steigungsdreieck (zwei Punkte nehmen und Δy/Δx rechnen) oder mit der Formel: m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. Den y-Achsenabschnitt b findest du, indem du schaust, wo deine Gerade die y-Achse schneidet.

Merktipp: Für die Nullstelle setzt du f$x$ = 0 und löst nach x auf!

Quadratische Funktionen - Die Parabeln

Quadratische Funktionen haben immer ein x² und sehen aus wie eine Parabel. Die Normalparabel f$x$ = x² kennst du bestimmt schon!

Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt deiner Parabel. Du kannst sie in alle Richtungen verschieben: Nach oben/unten mit +e oder -e, nach links/rechts mit $x+d$² oder $x-d$².

Mit dem Faktor a vor dem x² machst du die Parabel schmaler (a > 1) oder breiter (a < 1). Ist a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten statt nach oben.

Die Scheitelpunktform f$x$ = a$x-d$² + e zeigt dir sofort den Scheitelpunkt S(d|e). Super praktisch für Klausuren!

Wichtig: Es gibt drei Darstellungsformen - Scheitelpunkt-, allgemeine und faktorisierte Form. Jede zeigt dir andere Eigenschaften!

Nullstellen und Umrechnung

Nullstellen berechnen geht meist mit der pq-Formel - aber pass auf, dass der Faktor vor x² gleich 1 ist! Falls nicht, teile die ganze Gleichung durch diesen Faktor.

Bei Spezialfällen wie ax² + c = 0 oder ax² + bx = 0 geht's oft einfacher. Im zweiten Fall ist x = 0 immer eine Lösung!

Zwischen den Darstellungsformen wechselst du mit quadratischer Ergänzung (zu Scheitelpunktform) oder Ausmultiplizieren (zur allgemeinen Form). Die faktorisierte Form zeigt dir die Nullstellen direkt.

Tipp: Eine quadratische Gleichung kann null, eine oder zwei Lösungen haben!

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum folgt der Formel B$t$ = B(0) · qᵗ, wobei q der Wachstumsfaktor ist. Das kennst du von Zinsen oder Bakterienwachstum!

Parameter berechnen ist manchmal tricky. Für t nutzt du Logarithmen: t = log_q$B(t)/B(0)$. Den Wachstumsfaktor q findest du über q = $B(t)/B(0)$^$1/t$.

Bei zwei Wertepaaren setzt du beide in die Formel ein und löst das Gleichungssystem. Erst q berechnen, dann a bestimmen - wie im Beispiel mit den Punkten P(5|5,9) und Q(7|8,6).

Merke: Exponentielles Wachstum wird schnell sehr groß - deshalb sind Handyverträge mit unlimitierten Daten so teuer!