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Lena
2.12.2025
Mathe
Mathe Abi 2025 - Analysis Lernzettel
672
•
2. Dez. 2025
•
Lena
@lenaluc
Hier findest du eine kompakte Übersicht über die wichtigsten Themen... Mehr anzeigen
Diese Seite behandelt die Grundlagen der Analysis, die du für alle weiteren Berechnungen brauchst. Du lernst hier, wie komplexe mathematische Probleme systematisch gelöst werden.
Der Fokus liegt auf praktischen Lösungsstrategien für Gleichungssysteme. Wenn Berechnungen zu komplex werden, ist der GTR (Grafischer Taschenrechner) dein bester Freund - lerne die wichtigsten Funktionen!
Tipp: Speichere dir die GTR-Schritte ab - sie kommen in jeder Klausur vor!
Du musst nicht alle Berechnungen per Hand machen! Der GTR löst komplexe Gleichungssysteme schnell und zuverlässig. Das ist besonders praktisch bei der Bestimmung von Funktionsgleichungen.
So gehst du vor: Matrix-Funktion öffnen , passende Größe einstellen und Werte eingeben. Mit rref-Funktion bekommst du die Lösung in Sekunden.
Die angegebenen Übungen im Mathebuch helfen dir, diese Techniken zu festigen. Besonders wichtig: S. 12 Nr. 2 und S. 13 Nr. 3.
Merke: Der GTR spart Zeit - aber verstehe trotzdem das Prinzip dahinter!
Hier wird's richtig praktisch! Du lernst, wie aus Änderungsraten der ursprüngliche Bestand rekonstruiert wird. Das Medikamentenbeispiel zeigt dir perfekt, wie das funktioniert.
Bei der Infusion werden 10 Minuten lang 0,5 ml/min verabreicht, danach baut der Körper 0,2 ml/min ab. So berechnest du die Menge zu jedem Zeitpunkt: Zugeführte Menge minus abgebaute Menge.
Das Waldbeispiel funktioniert genauso: Aufforstung minus Holzeinschlag ergibt die jährliche Veränderung. Nach 7,14 Jahren ist die ursprüngliche Größe wieder erreicht.
Wichtig: Immer auf die Vorzeichen achten - Zunahme ist positiv, Abnahme negativ!
Das Integral ist nichts anderes als die Fläche unter einer Kurve! Du näherst dich dem exakten Wert durch immer mehr Rechtecke an - je mehr Rechtecke, desto genauer wird's.
Bei f(x) = x² startest du mit 4 Rechtecken (A₄ ≈ 0,219), dann 10 Rechtecken (A₁₀ ≈ 0,285). Für n → ∞ bekommst du den exakten Wert.
Die Rechteckssumme wird durch eine clevere Formel berechnet. Das Prinzip: Intervall teilen, Funktionswerte berechnen, mit Breite multiplizieren und alles addieren.
Merke: Je mehr Rechtecke, desto genauer - das ist die Grundidee des Integrals!
Das Integral ∫ₐᵇ f(x)dx gibt dir die Fläche zwischen Graph und x-Achse von a bis b. Wichtig: Flächen über der x-Achse werden addiert, Flächen darunter subtrahiert.
Die Grundformel für Quadratfunktionen: ∫₀ᵇ x²dx = ⅓b³. Damit löst du viele Aufgaben schnell! Für komplexere Bereiche subtrahierst du einfach Integrale voneinander.
Die Beispiele zeigen dir verschiedene Flächenberechnungen: von einfachen Parabeln bis hin zu Flächen zwischen verschiedenen Grenzen. Übung macht den Meister!
Tipp: Zeichne dir immer eine Skizze - dann siehst du sofort, welche Flächen du brauchst!
Bei der Querschnittsfläche eines Tors berechnest du das Integral der gegebenen Funktion. Mit dem GTR geht das super schnell: Math + 9, Werte eingeben, Enter - fertig!
Schnittflächen zwischen zwei Funktionen sind etwas komplexer. Erst die Schnittpunkte bestimmen, dann die Differenzfunktion integrieren: A = ∫ |f(x) - g(x)|dx.
Das Beispiel mit f(x) = -x² + 6x - 3 und g(x) = x² - 4x + 5 zeigt den kompletten Weg: Schnittpunkte bei x = 1 und x = 4, dann Integration der Differenz ergibt A = 9.
Wichtig: Bei Schnittflächen immer zuerst die Schnittpunkte bestimmen!
Der GTR macht Integralrechnung zum Kinderspiel! Mit fnint() berechnest du jedes Integral: fnint(Funktion, Variable, untere Grenze, obere Grenze).
Für Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse verwendest du den Betrag: A = ∫ₐᵇ |f(x)|dx. So brauchst du keine Nullstellen zu bestimmen - der GTR macht alles automatisch.
Bei Flächen zwischen zwei Graphen gilt dasselbe Prinzip: A = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)|dx. Auch hier übernimmt der GTR die komplette Berechnung für dich.
Zeitspartipp: GTR für komplexe Berechnungen, Kopf für einfache Standardaufgaben!
Begrenztes Wachstum kommt überall vor - von Gerüchten bis zu Populationen! Das Besondere: Es gibt eine Sättigungsgrenze S, die nie überschritten wird.
Die Formel B(t) = S - c·e^ beschreibt diesen Prozess perfekt. S ist die Schranke, c der Anfangsabstand zur Schranke, k die Wachstumskonstante.
Der Restbestand R(t) = S - B(t) nimmt exponentiell ab - je näher du der Grenze kommst, desto langsamer wird das Wachstum. Das ist realistischer als unbegrenztes exponentielles Wachstum!
Realitätscheck: Unbegrenztes Wachstum gibt's nicht - irgendwann ist immer Schluss!
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Terme mit x multipliziert werden: (u·v)' = u'·v + u·v'. Klingt kompliziert, ist aber logisch aufgebaut!
Das Beispiel f(x) = ·e^ zeigt's perfekt: u = 3x+1, u' = 3, v = e^, v' = 2e^. Einsetzen, ausklammern, vereinfachen - fertig!
Achtung: Wenn nur eine Konstante vor der e-Funktion steht , brauchst du keine Produktregel - die Konstante bleibt einfach stehen!
Faustregel: Produktregel nur wenn beide Faktoren von x abhängen!
Bei komplexen Aufgaben unterscheidest du zwei Fälle: Beschreibt die Funktion f den Bestand oder die Änderungsrate? Das bestimmt deine Lösungsstrategie!
Bestandsfunktionen: Graph zeichnen für Überblick, Extremwerte für Höchst-/Tiefststände, Wendepunkte für Extremwerte der Änderungsrate. GTR hilft bei der grafischen Lösung!
Änderungsratenfunktionen: Integral berechnen für Bestand, F(t) = ∫₀ᵗ f(x)dx + c für zeitliche Entwicklung. Dann wieder die gleichen Fragestellungen wie bei Bestandsfunktionen.
Strategietipp: Erst klären was gegeben ist, dann die passende Methode wählen!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Lena
@lenaluc
Hier findest du eine kompakte Übersicht über die wichtigsten Themen der Integralrechnung und Analysis. Von der praktischen Berechnung von Integralen über Flächenberechnungen bis hin zu komplexen Anwendungen wie begrenztem Wachstum - alles was du für Klausuren brauchst!
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Hier wird's richtig praktisch! Du lernst, wie aus Änderungsraten der ursprüngliche Bestand rekonstruiert wird. Das Medikamentenbeispiel zeigt dir perfekt, wie das funktioniert.
Bei der Infusion werden 10 Minuten lang 0,5 ml/min verabreicht, danach baut der Körper 0,2 ml/min ab. So berechnest du die Menge zu jedem Zeitpunkt: Zugeführte Menge minus abgebaute Menge.
Das Waldbeispiel funktioniert genauso: Aufforstung minus Holzeinschlag ergibt die jährliche Veränderung. Nach 7,14 Jahren ist die ursprüngliche Größe wieder erreicht.
Wichtig: Immer auf die Vorzeichen achten - Zunahme ist positiv, Abnahme negativ!
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Das Integral ist nichts anderes als die Fläche unter einer Kurve! Du näherst dich dem exakten Wert durch immer mehr Rechtecke an - je mehr Rechtecke, desto genauer wird's.
Bei f(x) = x² startest du mit 4 Rechtecken (A₄ ≈ 0,219), dann 10 Rechtecken (A₁₀ ≈ 0,285). Für n → ∞ bekommst du den exakten Wert.
Die Rechteckssumme wird durch eine clevere Formel berechnet. Das Prinzip: Intervall teilen, Funktionswerte berechnen, mit Breite multiplizieren und alles addieren.
Merke: Je mehr Rechtecke, desto genauer - das ist die Grundidee des Integrals!
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Das Integral ∫ₐᵇ f(x)dx gibt dir die Fläche zwischen Graph und x-Achse von a bis b. Wichtig: Flächen über der x-Achse werden addiert, Flächen darunter subtrahiert.
Die Grundformel für Quadratfunktionen: ∫₀ᵇ x²dx = ⅓b³. Damit löst du viele Aufgaben schnell! Für komplexere Bereiche subtrahierst du einfach Integrale voneinander.
Die Beispiele zeigen dir verschiedene Flächenberechnungen: von einfachen Parabeln bis hin zu Flächen zwischen verschiedenen Grenzen. Übung macht den Meister!
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Schnittflächen zwischen zwei Funktionen sind etwas komplexer. Erst die Schnittpunkte bestimmen, dann die Differenzfunktion integrieren: A = ∫ |f(x) - g(x)|dx.
Das Beispiel mit f(x) = -x² + 6x - 3 und g(x) = x² - 4x + 5 zeigt den kompletten Weg: Schnittpunkte bei x = 1 und x = 4, dann Integration der Differenz ergibt A = 9.
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Begrenztes Wachstum kommt überall vor - von Gerüchten bis zu Populationen! Das Besondere: Es gibt eine Sättigungsgrenze S, die nie überschritten wird.
Die Formel B(t) = S - c·e^ beschreibt diesen Prozess perfekt. S ist die Schranke, c der Anfangsabstand zur Schranke, k die Wachstumskonstante.
Der Restbestand R(t) = S - B(t) nimmt exponentiell ab - je näher du der Grenze kommst, desto langsamer wird das Wachstum. Das ist realistischer als unbegrenztes exponentielles Wachstum!
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Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Terme mit x multipliziert werden: (u·v)' = u'·v + u·v'. Klingt kompliziert, ist aber logisch aufgebaut!
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Änderungsratenfunktionen: Integral berechnen für Bestand, F(t) = ∫₀ᵗ f(x)dx + c für zeitliche Entwicklung. Dann wieder die gleichen Fragestellungen wie bei Bestandsfunktionen.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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