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Mathe3.003Aktualisiert 2. Okt. 202626 Seiten

Mathe Abitur NRW 2025 - Alle GK Themen kompakt

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Mathe Leistungskurs kann erstmal überwältigend wirken, aber keine Sorge! Diese Übersicht zeigt dir alle wichtigen Themen von Analysis über Stochastik bis zur linearen Algebra - strukturiert und verständlich erklärt.
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Inhaltsverzeichnis - Dein Mathe-LK Überblick

Du stehst vor vier großen Themenbereichen, die dir im Mathe-LK begegnen werden. Die Analysis bildet das Herzstück mit Ableitungen, Kurvendiskussion und Integralrechnung.

In der Stochastik lernst du alles über Wahrscheinlichkeiten - von Baumdiagrammen bis zur Binomialverteilung. Das ist besonders praktisch, weil du damit echte Probleme lösen kannst.

Die lineare Algebra bringt dich in die 3D-Welt mit Vektoren, Geraden und Ebenen. Klingt kompliziert, ist aber sehr logisch aufgebaut.

Tipp: Leg dir eine Formelsammlung an - du wirst sie definitiv brauchen!

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Analysis - Ableitungen verstehen

Ableiten ist eigentlich ganz einfach: Exponent wird zum Vorfaktor, dann ziehst du 1 vom Exponenten ab. Bei fxx = 4x⁴ wird f'xx = 16x³.

Die zweite Ableitung zeigt dir das Krümmungsverhalten der Funktion. An Wendepunkten ist die Steigung am größten - das sind gleichzeitig die Extremstellen der ersten Ableitung.

Für komplexere Funktionen brauchst du die Produktregel und Kettenregel. Die Produktregel: f'xx = g'xx·hxx + gxx·h'xx. Bei der Kettenregel multiplizierst du die äußere mit der inneren Ableitung.

Merke: Übung macht den Meister - ableiten wird schnell zur Routine!

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Änderungsraten und Symmetrie

Die durchschnittliche Änderungsrate ist einfach die Steigung zwischen zwei Punkten: f(x2)−f(x1)f(x₂)-f(x₁)/x2−x1x₂-x₁. Die momentane Änderungsrate an einer Stelle findest du über die erste Ableitung.

Monotonie beschreibt, ob deine Funktion steigt oder fällt. Das erkennst du am Vorzeichen der ersten Ableitung.

Bei der Symmetrie gibt's zwei wichtige Arten: Achsensymmetrie zur y-Achse (alle Exponenten sind gerade) und Punktsymmetrie zum Ursprung (alle Exponenten sind ungerade).

Praxistipp: Symmetrie zu erkennen spart dir bei Kurvendiskussionen viel Rechenarbeit!

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Kurvendiskussion - Nullstellen finden

Nullstellen findest du mit verschiedenen Methoden. Die pq-Formel für quadratische Gleichungen, Ausklammern wenn möglich, oder Wurzelziehen bei speziellen Formen.

Der Satz vom Nullprodukt ist super praktisch: Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens ein Faktor null sein. Deshalb funktioniert das Ausklammern so gut.

Manchmal musst du geschickt umformen und dann Wurzel ziehen. Bei -3-x−1x-1² + 12 = 0 isolierst du erst die Klammer und ziehst dann die Wurzel.

Tipp: GTR-Funktionen wie "polyroots" helfen, wenn alles andere nicht funktioniert!

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Achsenschnittpunkte und Extremstellen

Achsenschnittpunkte sind easy: y-Achse bei x = 0 einsetzen, x-Achse sind die Nullstellen. Das solltest du im Schlaf können.

Extremstellen findest du über f'xx = 0. Das notwendige Kriterium! Für das hinreichende Kriterium prüfst du f''xx: Ist es größer null, hast du einen Tiefpunkt, ist es kleiner null einen Hochpunkt.

Wendestellen funktionieren ähnlich: f''xx = 0 für das notwendige Kriterium, f'''xx ≠ 0 für das hinreichende. An Wendestellen hat die Funktion maximales Gefälle oder maximale Steigung.

Wichtig: Vergiss nie das hinreichende Kriterium - sonst gehst du bei Klausuren leer aus!

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Tangenten und e-Funktionen

Tangentenberechnung läuft in zwei Schritten: Steigung über f'(x₀) bestimmen, dann y = mx + n mit dem gegebenen Punkt lösen. Die Steigung m kennst du ja schon.

e-Funktionen sind besonders, weil sie sich beim Ableiten kaum verändern. e^x bleibt e^x, bei ae^(nx) wird's a·n·e^(nx). Das macht vieles einfacher.

Bei Nullstellen von e-Funktionen nutzt du am besten den GTR (nsolve). Für Extremstellen gehst du wie gewohnt vor: f'xx = 0, aber denk an die Produktregel wenn nötig.

Fakt: e-Funktionen sind nie null - das hilft dir bei vielen Rechnungen!

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Wendestellen und Integralrechnung

Wendestellen bei e-Funktionen funktionieren genauso: f''xx = 0 und f'''xx ≠ 0. Die e-Funktion verschwindet nie, also konzentriere dich auf den anderen Faktor.

Integralrechnung ist das Gegenteil vom Ableiten. Der Hauptsatz ∫fxxdx = [Fxx]ᵇₐ = Fbb - Faa ist dein wichtigstes Werkzeug.

Bei Flächenberechnung zwischen Funktion und x-Achse berechnest du erst die Nullstellen, dann die einzelnen Integrale. Negative Werte bedeuten Flächen unter der x-Achse.

GTR-Tipp: Menü 4,2 für Integrale nutzen - spart Zeit und Nerven!

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Flächenberechnung zwischen Graphen

Flächen zwischen zwei Graphen berechnest du in zwei Schritten: Erst die Schnittpunkte finden f(x)=g(x)f(x) = g(x), dann das Integral der Differenzfunktion bilden.

Stammfunktionen bildest du durch "rückwärts ableiten": Exponent plus 1, dann durch den neuen Exponenten teilen. Aus x³ wird x⁴/4.

Beim Skizzieren von Stammfunktionen gilt: Ist fxx positiv, steigt Fxx. Ist fxx negativ, fällt Fxx. An Nullstellen von fxx hat Fxx ihre Extremstellen.

Visualisierung: Stell dir die Stammfunktion als "Flächenansammlung" unter dem Graphen vor!

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Funktionscharen verstehen

Funktionscharen enthalten einen Parameter (meist a), der die Funktion verändert. Bei fₐxx = x³ - ax² hängen alle Eigenschaften von a ab.

Nullstellen findest du durch Ausklammern: x²x−ax-a = 0 ergibt x = 0 und x = a. Die eine Nullstelle bleibt fest, die andere wandert mit dem Parameter.

Extremstellen berechnest du wie gewohnt über f'xx = 0. Du bekommst x = 0 und x = 2a/3. Der Tiefpunkt wandert also mit dem Parameter, der Hochpunkt bleibt bei (0|0).

Aha-Moment: Parameter verändern die Funktion systematisch - das ist sehr vorhersagbar!

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Wendepunkte und Ortskurven

Wendepunkte bei Scharen findest du über f''xx = 0. Bei x = a/3 liegt immer ein Wendepunkt - egal welches a du wählst.

Ortskurven verbinden alle Punkte gleicher Art. Für Tiefpunkte stellst du x = 2a/3 nach a um und setzt in die y-Koordinate ein. So entsteht Oxx = -x³/2.

Die Ortskurve der Wendepunkte funktioniert genauso: x = a/3 umstellen und einsetzen. Das Ergebnis ist eine neue Funktion, die alle Wendepunkte enthält.

Profi-Tipp: Ortskurven helfen dir, das Verhalten von Scharen zu verstehen und zu visualisieren!

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