Grundlagen und Rechenregeln

Die binomischen Formeln sind euer Fundament für viele weitere Berechnungen: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2$, $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ und $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$. Diese werdet ihr immer wieder brauchen.

Bei Bruchrechnung multipliziert ihr Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Für Division dreht ihr den zweiten Bruch um und multipliziert.

Potenzgesetze vereinfachen komplexe Rechnungen erheblich. $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ und $x^a : x^b = x^{a-b}$ sind die wichtigsten Regeln. Merkt euch: $x^0 = 1$ für alle $x \neq 0$.

💡 Tipp: Die Rechenhierarchie "Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich" erspart euch viele Fehler!

Logarithmen verstehen und anwenden

Logarithmen sind die Umkehrfunktion des Potenzierens: $a^b = c \iff \log_a(c) = b$. Das bedeutet einfach: "Welche Potenz brauche ich, um von $a$ auf $c$ zu kommen?"

Die Logarithmusgesetze machen komplizierte Rechnungen einfacher: $\log_a(u \cdot v) = \log_a(u) + \log_a(v)$ (Produkt wird zu Summe) und $\log_a(\frac{u}{v}) = \log_a(u) - \log_a(v)$ (Quotient wird zu Differenz).

Bei Exponentialgleichungen könnt ihr entweder die Exponenten vergleichen oder beide Seiten logarithmieren. Für Logarithmusgleichungen nutzt ihr die Gesetze und denkt daran: $\log_a(0)$ gibt es nicht!

💡 Merkhilfe: $\log_{10}$ schreibt man als $\log$ und $\log_e$ als $\ln$ - das spart Zeit beim Rechnen!

Quadratische Gleichungen lösen

Die Mitternachtsformel $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ löst jede quadratische Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$. Der Wert unter der Wurzel (Diskriminante) verrät euch alles: positiv = 2 Lösungen, null = 1 Lösung, negativ = keine Lösung.

Faktorzerlegung ist oft schneller als die Formel. Sucht zwei Zahlen, die multipliziert $q$ und addiert $p$ ergeben - dann habt ihr eure Lösungen.

Bei Flächenberechnungen sind die Grundformeln unverzichtbar: Kreis $\pi r^2$, Dreieck $\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$, Trapez $\frac{a+c}{2} \cdot h$. Diese Formeln tauchen in vielen Aufgaben auf.

💡 Taschenrechner-Tipp: "polysolv" löst quadratische Gleichungen automatisch - aber versteht trotzdem das Prinzip dahinter!

Stereometrie - Körperberechnungen meistern

Bei Prismen ist das Volumen immer $V = G \cdot h$ (Grundfläche mal Höhe). Die Mantelfläche berechnet sich mit $M = h \cdot u$, wobei $u$ der Umfang der Grundfläche ist.

Pyramiden und Kegel haben das charakteristische $\frac{1}{3}$ im Volumen: $V = \frac{G \cdot h}{3}$. Bei Kegeln ist die Grundfläche $\pi r^2$.

Der Proportionalitätsfaktor ist entscheidend: Streckt ihr einen Körper um Faktor $k$, ändern sich Längen um $k$, Flächen um $k^2$ und Volumen um $k^3$.

Kugel und Zylinder haben ihre eigenen Formeln: Kugel $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, Zylinder $V = \pi r^2 h$. Diese müsst ihr auswendig können.

💡 Strategie: Skizziert immer den Körper und markiert gegebene Werte - das verhindert Verwechslungen!

Trigonometrie anwenden

Sinus, Cosinus und Tangens definieren die Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck: $\sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$, $\cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$, $\tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$.

Der Sinussatz $\frac{\sin(\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}$ gilt in jedem Dreieck, nicht nur rechtwinkligen! Der Cosinussatz $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$ ist die Verallgemeinerung des Pythagoras.

Lineare Funktionen $f(x) = mx + b$ haben konstante Steigung $m$. Die Steigung berechnet sich mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ zwischen zwei Punkten.

💡 Eselsbrücke: GAGA/HHAG hilft bei den trigonometrischen Verhältnissen - Gegenkathete/Ankathete/Gegenkathete/Ankathete!

Quadratische Funktionen verstehen

Quadratische Funktionen haben drei wichtige Darstellungsformen. Die allgemeine Form $y = ax^2 + bx + c$ zeigt direkt den y-Achsenabschnitt $c$. Der Parameter $a$ bestimmt Öffnungsrichtung und -weite.

Die Scheitelpunktform $y = a(x-u)^2 + v$ zeigt den Scheitelpunkt $(u|v)$ direkt an. Hier seht ihr sofort, wie die Standardparabel verschoben wurde.

Die Nullstellenform $y = a(x-x_1)(x-x_2)$ verrät die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ auf einen Blick. Zwischen den Formen könnt ihr mit quadratischer Ergänzung oder Ausmultiplizieren wechseln.

Die Mitternachtsformel gibt euch die Nullstellen aus der allgemeinen Form: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

💡 Vorzeichen-Trick: Bei $y = a(x-u)^2 + v$ bedeutet das Minus vor $u$ eine Verschiebung nach rechts!

Zwischen Funktionsformen wechseln

Quadratische Ergänzung führt von allgemeiner Form zur Scheitelpunktform: Klammert den Faktor vor $x^2$ aus, ergänzt zum vollständigen Quadrat und wendet die binomische Formel rückwärts an.

Den Scheitelpunkt findet ihr auch direkt mit $x_s = \frac{-b}{2a}$ und Einsetzen in die ursprüngliche Funktion für $y_s$.

Exponentialfunktionen $f(x) = a \cdot b^x$ haben charakteristische Eigenschaften: $a$ ist der Anfangswert, $b$ der Wachstumsfaktor. Ist $b > 1$, wächst die Funktion; ist $0 < b < 1$, fällt sie.

Die allgemeine Form $f(x) = a \cdot b^{x+c} + d$ verschiebt die Grundfunktion: $c$ horizontal (Vorzeichen beachten!), $d$ vertikal.

💡 Merkhilfe: Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen - sie spiegeln sich an der Geraden $y = x$!

Statistik - Daten verstehen und darstellen

In der Statistik unterscheidet ihr zwischen qualitativen (nicht messbar, wie Farben) und quantitativen Merkmalen (messbar, wie Grösse). Quantitative Merkmale sind diskret (ganzzahlig) oder stetig (beliebige Werte).

Lageparameter beschreiben eure Daten: Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste, der Modus der häufigste Wert, der Mittelwert $\mu = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$ der Durchschnitt aller Werte.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen Maximum und Minimum. Relative Häufigkeit gibt an, welcher Anteil aller Beobachtungen ein bestimmtes Merkmal hat.

Absolute Häufigkeit zählt, wie oft etwas vorkommt. Relative Häufigkeit teilt dies durch die Gesamtzahl: $h = \frac{H}{n}$.

💡 Boxplot-Tipp: Sortiert immer zuerst eure Daten - ohne Sortierung funktioniert nichts in der Statistik!

Streuung messen und Boxplots erstellen

Die Standardabweichung $\sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + ... + (x_n-\mu)^2}{n-1}}$ misst, wie weit eure Datenpunkte durchschnittlich vom Mittelwert entfernt sind. Ohne Wurzel erhaltet ihr die Varianz.

Boxplots visualisieren eure Daten kompakt: Sie zeigen Minimum, erstes Quartil $Q_1$ bei $\frac{n}{4}$, Median, drittes Quartil $Q_3$ bei $\frac{3n}{4}$ und Maximum.

Bei der Quartilberechnung nehmt ihr bei ganzzahligen Ergebnissen den Mittelwert aus dem errechneten und dem folgenden Rangplatz. Bei nicht-ganzzahligen Ergebnissen rundet ihr zur nächsthöheren ganzen Zahl.

Diagrammtypen wählt ihr je nach Datenart: Säulendiagramm für Kategorien, Liniendiagramm für Zeitverläufe, Streudiagramm für Zusammenhänge.

💡 Quartil-Trick: Teilt eure sortierten Daten gedanklich in vier gleiche Teile - die Grenzen sind eure Quartile!

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Kombinatorik fragt: Auf wie viele Arten kann ich auswählen? Entscheidend sind vier Fragen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Gibt es Wiederholungen? Werden alle Elemente gewählt? Sind alle Elemente unterscheidbar?

Permutationen ordnen Elemente an: $P(n) = n!$ ohne Wiederholung, $P(n, k_1, k_2,...,k_m) = \frac{n!}{k_1! k_2!...k_m!}$ mit identischen Elementen.

Variationen berücksichtigen die Reihenfolge: $V(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ ohne Wiederholung, $V(n,k) = n^k$ mit Wiederholung. Kombinationen ignorieren sie: $C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$.

Laplace-Wahrscheinlichkeit gilt bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen: $P(E) = \frac{|E|}{|Ω|}$ = "günstig durch möglich". Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten: Pfade multiplizieren, verschiedene Pfade addieren.

💡 Wahrscheinlichkeits-Check: Alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1, und $P(E) + P(\overline{E}) = 1$!