Mathematik

Bewegung und Größen der Materie

414

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2. Feb. 2026

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Mathe Formelsammlung für den MSA

ecrin

@ecrin.ndr

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$## Ebene Figuren ### Quadrat Flächeninhalt: $A = a \cdot a = a^2$ Umfang: $u = 4 \cdot a$ ### Dreieck Flächeninhalt: $A = \frac{g \cdot h}$

Geometrie: Flächen und rechtwinklige Dreiecke

Du kennst das Problem: Welche Formel war nochmal für das Trapez? Keine Sorge, hier hast du alle wichtigen Flächenformeln auf einen Blick.

Beim Quadrat ist alles simpel: $A = a^2$ für die Fläche und $u = 4 \cdot a$ für den Umfang. Das Dreieck wird mit $A = \frac{g \cdot h}{2}$ berechnet - Grundseite mal Höhe, geteilt durch zwei.

Für rechtwinklige Dreiecke musst du dir merken: Die beiden Katheten bilden den rechten Winkel, die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Mit dem Satz des Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ kannst du fehlende Seiten berechnen.

Die Trigonometrie hilft dir bei Winkeln: $\sin \alpha = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ , $\cos \alpha = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ und $\tan \alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$ . Merkspruch: "Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse!"

Tipp: Bei Maßeinheiten immer daran denken - jede Stufe bedeutet mal 10 bei Längen und mal 100 bei Flächen!

$## Ebene Figuren ### Quadrat Flächeninhalt: $A = a \cdot a = a^2$ Umfang: $u = 4 \cdot a$ ### Dreieck Flächeninhalt: $A = \frac{g \cdot h}$

Körper und Volumen

3D-Geometrie muss nicht kompliziert sein! Die meisten Volumenformeln folgen einem einfachen Muster, das du dir merken kannst.

Prismen (wie Würfel und Quader) haben die Grundformel $V = G \cdot h_k$ - Grundfläche mal Körperhöhe. Beim Würfel wird das zu $V = a^3$ , beim Quader zu $V = a \cdot b \cdot c$ .

Pyramiden und Kegel haben immer den Faktor $\frac{1}{3}$ vor der Grundformel: $V = \frac{1}{3} G \cdot h_k$ . Das liegt daran, dass sie sich nach oben verjüngen.

Die Kugel ist der Sonderfall mit $V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3$ und $O = 4 \pi r^2$ . Bei Zylindern rechnest du wie bei Prismen: $V = \pi r^2 \cdot h_k$ .

Merkhilfe: Pyramide und Kegel sind wie "ein Drittel" von Prisma und Zylinder - daher der Faktor $\frac{1}{3}$ !

$## Ebene Figuren ### Quadrat Flächeninhalt: $A = a \cdot a = a^2$ Umfang: $u = 4 \cdot a$ ### Dreieck Flächeninhalt: $A = \frac{g \cdot h}$

Ähnlichkeit, Prozentrechnung und Diagramme

Zentrische Streckung klingt kompliziert, ist aber nur "größer oder kleiner machen". Mit dem Streckfaktor $k$ veränderst du alle Längen um das k-fache, während Winkel gleich bleiben.

Bei der Prozentrechnung brauchst du drei Größen: Grundwert $G$ (= 100%), Prozentsatz $p%$ und Prozentwert $W$ . Die Grundformel ist $W = G \cdot p%$ . Wenn du zwei Werte hast, kannst du den dritten berechnen.

Zinsrechnung funktioniert genauso wie Prozentrechnung: $Z = K \cdot p%$ für Jahreszinsen. Bei Zinseszins kommt der Zinsfaktor $q = 1 + \frac{p}{100}$ dazu, und nach $n$ Jahren hast du $K_n = K_0 \cdot q^n$ .

Diagramme wählst du je nach Zweck: Säulen/Balken für Werte vergleichen, Kreis/Streifen für Anteile zeigen. Im Kreisdiagramm entspricht 1% genau 3,6°.

Eselsbrücke: Bei Zinseszins "wächst das Geld exponentiell" - daher die Potenz $q^n$ !

$## Ebene Figuren ### Quadrat Flächeninhalt: $A = a \cdot a = a^2$ Umfang: $u = 4 \cdot a$ ### Dreieck Flächeninhalt: $A = \frac{g \cdot h}$

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Daten zu verstehen ist einfacher als gedacht! Absolute Häufigkeit sagt dir "wie oft", relative Häufigkeit sagt dir "welcher Anteil" - einfach absolute Häufigkeit durch Gesamtzahl teilen.

Das arithmetische Mittel kennst du als Durchschnitt: Alle Werte addieren und durch die Anzahl teilen. Der Median ist der Wert in der Mitte einer sortierten Liste - bei gerader Anzahl der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.

Boxplots zeigen dir fünf wichtige Werte: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum. Das untere Quartil ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil der Median der oberen Hälfte.

Bei Laplace-Versuchen sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich: $P(E) = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$ . Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Versuchen - multipliziere entlang des Pfades, addiere verschiedene Pfade.

Prüfungstrick: Beim Median immer erst sortieren, dann den mittleren Wert suchen!

$## Ebene Figuren ### Quadrat Flächeninhalt: $A = a \cdot a = a^2$ Umfang: $u = 4 \cdot a$ ### Dreieck Flächeninhalt: $A = \frac{g \cdot h}$

Funktionen

Funktionen sind wie Maschinen: Du steckst einen x-Wert rein und bekommst genau einen y-Wert raus. Diese eindeutige Zuordnung ist das Wichtigste, was du über Funktionen wissen musst.

Du kannst Funktionen auf verschiedene Weise darstellen: als Wortform ("Jeder Zahl wird ihre Quadratzahl zugeordnet"), als Zuordnungsvorschrift $x \rightarrow x^2$ , als Tabelle, als Graph oder als Funktionsgleichung $$y = x^2$$ .

Jede Darstellung hat ihre Vorteile: Tabellen sind gut für einzelne Werte, Graphen zeigen den Verlauf anschaulich, und Gleichungen erlauben präzise Berechnungen.

Funktionstest: Jede senkrechte Linie darf den Graphen nur einmal schneiden!

$## Ebene Figuren ### Quadrat Flächeninhalt: $A = a \cdot a = a^2$ Umfang: $u = 4 \cdot a$ ### Dreieck Flächeninhalt: $A = \frac{g \cdot h}$

Exponentialfunktionen und Gleichungen

Exponentialfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse, die du aus dem echten Leben kennst: Bakterienvermehrung, Zinswachstum oder radioaktiver Zerfall. Die Grundform ist $y = a \cdot q^x$ .

Der Anfangswert $a$ zeigt dir, wo du startest. Der Wachstumsfaktor $q$ entscheidet über Wachstum ($q > 1$) oder Abnahme ($0 < q < 1$). Bei 5% Wachstum ist $q = 1{,}05$ , bei 5% Abnahme ist $q = 0{,}95$ .

Quadratische Gleichungen löst du mit der Mitternachtsformel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ . Wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösung.

Die binomischen Formeln $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ und $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ helfen beim Umformen. Potenz- und Wurzelgesetze erleichtern das Rechnen mit Potenzen.

Exponentiell merken: $q = 1 + \frac{p}{100}$ für Wachstum, $q = 1 - \frac{p}{100}$ für Abnahme!

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Merkhilfe: Pyramide und Kegel sind wie "ein Drittel" von Prisma und Zylinder - daher der Faktor $\frac{1}{3}$ !

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Ähnlichkeit, Prozentrechnung und Diagramme

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Exponentialfunktionen und Gleichungen

Exponentialfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse, die du aus dem echten Leben kennst: Bakterienvermehrung, Zinswachstum oder radioaktiver Zerfall. Die Grundform ist $y = a \cdot q^x$ .

Quadratische Gleichungen löst du mit der Mitternachtsformel: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ . Wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ wird, gibt es keine Lösung.

Die binomischen Formeln $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ und $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ helfen beim Umformen. Potenz- und Wurzelgesetze erleichtern das Rechnen mit Potenzen.

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