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657
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2. Dez. 2025
•
Chloé Dubois
@chlodubois_qkql
Diese Klausur zeigt dir die wichtigsten Konzepte der Integralrechnung -... Mehr anzeigen
Stammfunktionen sind das Herzstück der Integralrechnung. Du musst die wichtigsten Ableitungsregeln rückwärts anwenden können. Bei f(x) = 0,5x⁴ - 2x wird die Stammfunktion zu F(x) = 0,1x⁵ - x² + C.
Besonders wichtig: Trigonometrische Funktionen und Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Bei h(x) = -1/x² schreibst du erst -x⁻² und integrierst dann zu x⁻¹ = 1/x.
Merktipp: Die Potenzregel für Integration lautet: xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/, außer bei n = -1!
Die Klausur zeigt: 47 von 50 Punkten sind durchaus machbar, wenn du die Grundregeln sicher beherrschst. Übung macht hier wirklich den Meister.
Negative Integralwerte entstehen, wenn die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft. Bei ∫₀² f(x)dx = -4 liegt der Großteil der Fläche im negativen Bereich. Das ist völlig normal und mathematisch korrekt.
Symmetrische Funktionen haben eine praktische Eigenschaft: Bei ungeraden Funktionen wie f(x) = 2x³ - 6x ist ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0. Die positiven und negativen Flächenanteile heben sich auf.
Die Flächenbilanz unterscheidet sich vom Flächeninhalt. Für den tatsächlichen Flächeninhalt musst du die Beträge der Teilintegrale addieren: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx|.
Praxistipp: Zeichne dir die Funktion immer auf - so erkennst du sofort, wo sie die x-Achse schneidet und welche Bereiche positiv oder negativ sind.
Der Ansatz ∫₋₁^2,5 f(x)dx funktioniert nicht für Flächenberechnungen, weil sich positive und negative Bereiche wegkürzen. Du musst die Intervalle an den Nullstellen aufteilen.
Stammfunktion bestimmen: F(x) = ¼x⁴ - ⅔x³. Diese wendest du dann auf jedes Teilintervall einzeln an und bildest die Beträge.
Die Berechnung wird zu: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx| + ∫₂^2,5 f(x)dx. Jeder Term wird separat ausgerechnet und dann addiert.
Wichtig: Gib deine Antworten als exakte Brüche an oder verwende Rundungszeichen - das bringt dir die vollen Punkte!
Nullstellen-Trick: Für ∫₀ᵇ f(x)dx = 0 setzt du die Stammfunktion gleich null und löst nach b auf. Hier: b = 8/3.
Untersummen approximieren Flächeninhalte durch Rechtecke unterhalb der Kurve. U₄ bedeutet 4 Rechtecke, deren Höhe am linken Rand des jeweiligen Intervalls bestimmt wird.
Die Formel U₄ = ½ · zeigt: Intervallbreite 0,5 mal Summe der Funktionswerte an den linken Stellen.
Obersummen O₄ verwenden die rechten Intervallränder und liegen über der Kurve. Der tatsächliche Flächeninhalt A liegt immer zwischen Unter- und Obersumme.
Merkhilfe: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird die Approximation - das ist die Grundidee des Integrals!
Der exakte Wert A = 4⅓ FE lässt sich durch ∫₁³ ½x²dx berechnen und mit dem Mittelwert von U₄ und O₄ vergleichen.
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme erzählen Geschichten! Positive Werte bedeuten Nordrichtung, negative Südrichtung. Nullstellen zeigen Richtungswechsel, nicht Stillstand.
∫₂₂³⁵ v(t)dt gibt die Verschiebung in Nordrichtung an. Ist das Integral negativ, war die Netto-Bewegung nach Süden gerichtet.
Die Gesamtstrecke berechnest du durch |∫₀²² v(t)dt| + |∫₂₂³⁵ v(t)dt| + |∫₃₅⁴⁸ v(t)dt|. Hier zählt jeder zurückgelegte Meter, egal in welche Richtung.
Physik-Connection: Das Integral der Geschwindigkeit ist der Weg - das kennst du bereits aus der Physik!
∫₀⁴⁸ v(t)dt ≈ 4295 zeigt die Netto-Verschiebung nach Norden. Vergleiche das mit der Gesamtstrecke - so siehst du, wie viel "Umweg" der Ballon gemacht hat.
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Chloé Dubois
@chlodubois_qkql
Diese Klausur zeigt dir die wichtigsten Konzepte der Integralrechnung - von Stammfunktionen über Flächenberechnungen bis hin zu praktischen Anwendungen. Du lernst, wie Integrale nicht nur mathematische Werkzeuge sind, sondern auch reale Situationen wie Ballonfahrten beschreiben können.
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Stammfunktionen sind das Herzstück der Integralrechnung. Du musst die wichtigsten Ableitungsregeln rückwärts anwenden können. Bei f(x) = 0,5x⁴ - 2x wird die Stammfunktion zu F(x) = 0,1x⁵ - x² + C.
Besonders wichtig: Trigonometrische Funktionen und Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Bei h(x) = -1/x² schreibst du erst -x⁻² und integrierst dann zu x⁻¹ = 1/x.
Merktipp: Die Potenzregel für Integration lautet: xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/, außer bei n = -1!
Die Klausur zeigt: 47 von 50 Punkten sind durchaus machbar, wenn du die Grundregeln sicher beherrschst. Übung macht hier wirklich den Meister.
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Negative Integralwerte entstehen, wenn die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft. Bei ∫₀² f(x)dx = -4 liegt der Großteil der Fläche im negativen Bereich. Das ist völlig normal und mathematisch korrekt.
Symmetrische Funktionen haben eine praktische Eigenschaft: Bei ungeraden Funktionen wie f(x) = 2x³ - 6x ist ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0. Die positiven und negativen Flächenanteile heben sich auf.
Die Flächenbilanz unterscheidet sich vom Flächeninhalt. Für den tatsächlichen Flächeninhalt musst du die Beträge der Teilintegrale addieren: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx|.
Praxistipp: Zeichne dir die Funktion immer auf - so erkennst du sofort, wo sie die x-Achse schneidet und welche Bereiche positiv oder negativ sind.
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Der Ansatz ∫₋₁^2,5 f(x)dx funktioniert nicht für Flächenberechnungen, weil sich positive und negative Bereiche wegkürzen. Du musst die Intervalle an den Nullstellen aufteilen.
Stammfunktion bestimmen: F(x) = ¼x⁴ - ⅔x³. Diese wendest du dann auf jedes Teilintervall einzeln an und bildest die Beträge.
Die Berechnung wird zu: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx| + ∫₂^2,5 f(x)dx. Jeder Term wird separat ausgerechnet und dann addiert.
Wichtig: Gib deine Antworten als exakte Brüche an oder verwende Rundungszeichen - das bringt dir die vollen Punkte!
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Untersummen approximieren Flächeninhalte durch Rechtecke unterhalb der Kurve. U₄ bedeutet 4 Rechtecke, deren Höhe am linken Rand des jeweiligen Intervalls bestimmt wird.
Die Formel U₄ = ½ · zeigt: Intervallbreite 0,5 mal Summe der Funktionswerte an den linken Stellen.
Obersummen O₄ verwenden die rechten Intervallränder und liegen über der Kurve. Der tatsächliche Flächeninhalt A liegt immer zwischen Unter- und Obersumme.
Merkhilfe: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird die Approximation - das ist die Grundidee des Integrals!
Der exakte Wert A = 4⅓ FE lässt sich durch ∫₁³ ½x²dx berechnen und mit dem Mittelwert von U₄ und O₄ vergleichen.
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Die Gesamtstrecke berechnest du durch |∫₀²² v(t)dt| + |∫₂₂³⁵ v(t)dt| + |∫₃₅⁴⁸ v(t)dt|. Hier zählt jeder zurückgelegte Meter, egal in welche Richtung.
Physik-Connection: Das Integral der Geschwindigkeit ist der Weg - das kennst du bereits aus der Physik!
∫₀⁴⁸ v(t)dt ≈ 4295 zeigt die Netto-Verschiebung nach Norden. Vergleiche das mit der Gesamtstrecke - so siehst du, wie viel "Umweg" der Ballon gemacht hat.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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