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31. Jan. 2026
•
Chloé Dubois
@chlodubois_qkql
Diese Klausur zeigt dir die wichtigsten Konzepte der Integralrechnung -... Mehr anzeigen
Stammfunktionen sind das Herzstück der Integralrechnung. Du musst die wichtigsten Ableitungsregeln rückwärts anwenden können. Bei f(x) = 0,5x⁴ - 2x wird die Stammfunktion zu F(x) = 0,1x⁵ - x² + C.
Besonders wichtig: Trigonometrische Funktionen und Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Bei h(x) = -1/x² schreibst du erst -x⁻² und integrierst dann zu x⁻¹ = 1/x.
Merktipp: Die Potenzregel für Integration lautet: xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/, außer bei n = -1!
Die Klausur zeigt: 47 von 50 Punkten sind durchaus machbar, wenn du die Grundregeln sicher beherrschst. Übung macht hier wirklich den Meister.
Negative Integralwerte entstehen, wenn die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft. Bei ∫₀² f(x)dx = -4 liegt der Großteil der Fläche im negativen Bereich. Das ist völlig normal und mathematisch korrekt.
Symmetrische Funktionen haben eine praktische Eigenschaft: Bei ungeraden Funktionen wie f(x) = 2x³ - 6x ist ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0. Die positiven und negativen Flächenanteile heben sich auf.
Die Flächenbilanz unterscheidet sich vom Flächeninhalt. Für den tatsächlichen Flächeninhalt musst du die Beträge der Teilintegrale addieren: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx|.
Praxistipp: Zeichne dir die Funktion immer auf - so erkennst du sofort, wo sie die x-Achse schneidet und welche Bereiche positiv oder negativ sind.
Der Ansatz ∫₋₁^2,5 f(x)dx funktioniert nicht für Flächenberechnungen, weil sich positive und negative Bereiche wegkürzen. Du musst die Intervalle an den Nullstellen aufteilen.
Stammfunktion bestimmen: F(x) = ¼x⁴ - ⅔x³. Diese wendest du dann auf jedes Teilintervall einzeln an und bildest die Beträge.
Die Berechnung wird zu: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx| + ∫₂^2,5 f(x)dx. Jeder Term wird separat ausgerechnet und dann addiert.
Wichtig: Gib deine Antworten als exakte Brüche an oder verwende Rundungszeichen - das bringt dir die vollen Punkte!
Nullstellen-Trick: Für ∫₀ᵇ f(x)dx = 0 setzt du die Stammfunktion gleich null und löst nach b auf. Hier: b = 8/3.
Untersummen approximieren Flächeninhalte durch Rechtecke unterhalb der Kurve. U₄ bedeutet 4 Rechtecke, deren Höhe am linken Rand des jeweiligen Intervalls bestimmt wird.
Die Formel U₄ = ½ · [½·1² + ½·1,5² + ½·2² + ½·2,5²] zeigt: Intervallbreite 0,5 mal Summe der Funktionswerte an den linken Stellen.
Obersummen O₄ verwenden die rechten Intervallränder und liegen über der Kurve. Der tatsächliche Flächeninhalt A liegt immer zwischen Unter- und Obersumme.
Merkhilfe: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird die Approximation - das ist die Grundidee des Integrals!
Der exakte Wert A = 4⅓ FE lässt sich durch ∫₁³ ½x²dx berechnen und mit dem Mittelwert von U₄ und O₄ vergleichen.
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme erzählen Geschichten! Positive Werte bedeuten Nordrichtung, negative Südrichtung. Nullstellen zeigen Richtungswechsel, nicht Stillstand.
∫₂₂³⁵ v(t)dt gibt die Verschiebung in Nordrichtung an. Ist das Integral negativ, war die Netto-Bewegung nach Süden gerichtet.
Die Gesamtstrecke berechnest du durch |∫₀²² v(t)dt| + |∫₂₂³⁵ v(t)dt| + |∫₃₅⁴⁸ v(t)dt|. Hier zählt jeder zurückgelegte Meter, egal in welche Richtung.
Physik-Connection: Das Integral der Geschwindigkeit ist der Weg - das kennst du bereits aus der Physik!
∫₀⁴⁸ v(t)dt ≈ 4295 zeigt die Netto-Verschiebung nach Norden. Vergleiche das mit der Gesamtstrecke - so siehst du, wie viel "Umweg" der Ballon gemacht hat.
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Chloé Dubois
@chlodubois_qkql
Diese Klausur zeigt dir die wichtigsten Konzepte der Integralrechnung - von Stammfunktionen über Flächenberechnungen bis hin zu praktischen Anwendungen. Du lernst, wie Integrale nicht nur mathematische Werkzeuge sind, sondern auch reale Situationen wie Ballonfahrten beschreiben können.
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Stammfunktionen sind das Herzstück der Integralrechnung. Du musst die wichtigsten Ableitungsregeln rückwärts anwenden können. Bei f(x) = 0,5x⁴ - 2x wird die Stammfunktion zu F(x) = 0,1x⁵ - x² + C.
Besonders wichtig: Trigonometrische Funktionen und Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Bei h(x) = -1/x² schreibst du erst -x⁻² und integrierst dann zu x⁻¹ = 1/x.
Merktipp: Die Potenzregel für Integration lautet: xⁿ wird zu xⁿ⁺¹/, außer bei n = -1!
Die Klausur zeigt: 47 von 50 Punkten sind durchaus machbar, wenn du die Grundregeln sicher beherrschst. Übung macht hier wirklich den Meister.
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Negative Integralwerte entstehen, wenn die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft. Bei ∫₀² f(x)dx = -4 liegt der Großteil der Fläche im negativen Bereich. Das ist völlig normal und mathematisch korrekt.
Symmetrische Funktionen haben eine praktische Eigenschaft: Bei ungeraden Funktionen wie f(x) = 2x³ - 6x ist ∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0. Die positiven und negativen Flächenanteile heben sich auf.
Die Flächenbilanz unterscheidet sich vom Flächeninhalt. Für den tatsächlichen Flächeninhalt musst du die Beträge der Teilintegrale addieren: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx|.
Praxistipp: Zeichne dir die Funktion immer auf - so erkennst du sofort, wo sie die x-Achse schneidet und welche Bereiche positiv oder negativ sind.
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Der Ansatz ∫₋₁^2,5 f(x)dx funktioniert nicht für Flächenberechnungen, weil sich positive und negative Bereiche wegkürzen. Du musst die Intervalle an den Nullstellen aufteilen.
Stammfunktion bestimmen: F(x) = ¼x⁴ - ⅔x³. Diese wendest du dann auf jedes Teilintervall einzeln an und bildest die Beträge.
Die Berechnung wird zu: |∫₋₁⁰ f(x)dx| + |∫₀² f(x)dx| + ∫₂^2,5 f(x)dx. Jeder Term wird separat ausgerechnet und dann addiert.
Wichtig: Gib deine Antworten als exakte Brüche an oder verwende Rundungszeichen - das bringt dir die vollen Punkte!
Nullstellen-Trick: Für ∫₀ᵇ f(x)dx = 0 setzt du die Stammfunktion gleich null und löst nach b auf. Hier: b = 8/3.
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Untersummen approximieren Flächeninhalte durch Rechtecke unterhalb der Kurve. U₄ bedeutet 4 Rechtecke, deren Höhe am linken Rand des jeweiligen Intervalls bestimmt wird.
Die Formel U₄ = ½ · [½·1² + ½·1,5² + ½·2² + ½·2,5²] zeigt: Intervallbreite 0,5 mal Summe der Funktionswerte an den linken Stellen.
Obersummen O₄ verwenden die rechten Intervallränder und liegen über der Kurve. Der tatsächliche Flächeninhalt A liegt immer zwischen Unter- und Obersumme.
Merkhilfe: Je mehr Rechtecke du verwendest, desto genauer wird die Approximation - das ist die Grundidee des Integrals!
Der exakte Wert A = 4⅓ FE lässt sich durch ∫₁³ ½x²dx berechnen und mit dem Mittelwert von U₄ und O₄ vergleichen.
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Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme erzählen Geschichten! Positive Werte bedeuten Nordrichtung, negative Südrichtung. Nullstellen zeigen Richtungswechsel, nicht Stillstand.
∫₂₂³⁵ v(t)dt gibt die Verschiebung in Nordrichtung an. Ist das Integral negativ, war die Netto-Bewegung nach Süden gerichtet.
Die Gesamtstrecke berechnest du durch |∫₀²² v(t)dt| + |∫₂₂³⁵ v(t)dt| + |∫₃₅⁴⁸ v(t)dt|. Hier zählt jeder zurückgelegte Meter, egal in welche Richtung.
Physik-Connection: Das Integral der Geschwindigkeit ist der Weg - das kennst du bereits aus der Physik!
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Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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