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Mathe387Aktualisiert 5. Okt. 20269 Seiten

Mathe Klausur Q1: Vektorrechnung, Lagebeziehungen & Integrale

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Hier sind die wichtigsten Konzepte aus deiner Mathe-Klausur über Vektorrechnung und Integralrechnung. Du lernst, wie man mit Punkten und Geraden im 3D-Raum arbeitet und Flächeninhalte berechnet - alles Skills, die du für dein Abi brauchst!
Mathe Klausur Q1 Vektorrechnung Lagebeziehung Integrale – Seite 1

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Aufgabe 1: Punkte und Vektoren im 3D-Raum

Bei dieser Aufgabe geht's darum, Punkte im Koordinatensystem zu zeichnen und mit Ortsvektoren zu rechnen. Der Punkt E wird über eine Vektorkombination bestimmt: OE⃗=23OB⃗+13BC⃗\vec{OE} = \frac{2}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{BC}.

Um zu zeigen, dass die Figur ein "A" darstellt, musst du beweisen, dass AB und BC gleich lang sind. Das machst du mit der Längenformel: ∣AB⃗∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.

Für parallele Strecken AC und DE checkst du, ob ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Der Mittelpunkt M ist einfach: M=A+C2M = \frac{A + C}{2}. Bei der Orthogonalität gilt: Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Tipp: Bei Orthogonalität immer das Skalarprodukt bilden und gleich null setzen!

Mathe Klausur Q1 Vektorrechnung Lagebeziehung Integrale – Seite 2

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Aufgabe 2-3: Geraden und ihre Lagebeziehungen

Eine Geradengleichung hat die Form g:x⃗=a⃗+r⋅v⃗g: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{v}, wobei a⃗\vec{a} der Ortsvektor eines Punktes und v⃗\vec{v} der Richtungsvektor ist. Den Richtungsvektor bekommst du durch AB⃗=B−A\vec{AB} = B - A.

Um die Lagebeziehung zweier Geraden zu bestimmen, setzt du sie gleich und löst das Gleichungssystem. Gibt's keine Lösung, sind sie parallel oder windschief. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, dann sind sie parallel - sonst windschief.

Eine Gerade orthogonal zur x₂- und x₃-Achse verläuft parallel zur x₁-Achse. Ihr Richtungsvektor ist also (100)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Merke dir: Windschief bedeutet, die Geraden schneiden sich nicht und sind auch nicht parallel!

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Aufgabe 4-5: Anwendungen und Integralrechnung

Bei der Heißluftballon-Aufgabe rechnest du mit Geschwindigkeitsvektoren. Die Geschwindigkeit berechnest du mit v=vx2+vy2+vz2v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} und wandelst dann von m/s in km/h um (mal 3,6).

Nach zwei Minuten (120 Sekunden) ist der Ballon bei P2=P1+120⋅v⃗P_2 = P_1 + 120 \cdot \vec{v}. Für Kollisionsgefahr prüfst du, ob sich die Flugbahnen schneiden UND ob beide Ballons zur gleichen Zeit am gleichen Ort sind.

Bei der Flächenberechnung zwischen Funktionen bestimmst du erst die Schnittpunkte, dann teilst du das Intervall auf. Du integrierst immer ∣f(x)−g(x)∣|f(x) - g(x)| - also die obere minus die untere Funktion.

Pro-Tipp: Bei Flächenberechnungen immer skizzieren, welche Funktion oben liegt!

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