Stochastik Klausur – Übung Q1, 11 Punkte

Bewertungsübersicht

Du hast 29 von 38 Bewertungseinheiten erreicht und damit 11 Punkte bekommen - das entspricht einer 2 im klassischen Notensystem. Eine solide Leistung!

Der Notenspiegel zeigt dir, wo du im Vergleich zu anderen stehst. Mit 11 Punkten liegst du im guten Mittelfeld und hast die wichtigsten Konzepte verstanden.

Merke dir: In Mathe-Klausuren zählt nicht nur das richtige Ergebnis, sondern auch der nachvollziehbare Lösungsweg!

Teil A: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stein-Schere-Papier ist ein perfektes Beispiel für Laplace-Experimente! Du musst alle möglichen Ergebnisse als Tupel notieren: (Spieler 1, Spieler 2).

Die Ergebnismenge Ω enthält 9 gleichwahrscheinliche Möglichkeiten. Bei Laplace-Experimenten gilt: P(E) = Anzahl günstige Ergebnisse / Gesamtzahl möglicher Ergebnisse.

Für komplexere Ereignisse wie "mindestens einer wählt Schere" musst du alle passenden Tupel aufzählen und dann durch 9 teilen. Das Gewinnen von Spieler 1 bedeutet: seine Wahl schlägt die des Gegners.

Tipp: Bei Laplace-Experimenten sind alle Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich - das macht die Berechnung einfach!

Lösungen zu Stein-Schere-Papier

Die vollständige Ergebnismenge hat 9 Elemente: von (Stein, Stein) bis (Papier, Papier). Jedes einzelne Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit 1/9.

Wichtige Berechnungen: E₁ (beide Schere) = 1/9, E₂ (ein Stein, eine Schere) = 2/9, E₃ (mindestens einer Schere) = 5/9.

Spieler 1 gewinnt in genau 3 von 9 Fällen: (Stein, Schere), (Schere, Papier), (Papier, Stein). Das ergibt P(E₄) = 3/9 = 1/3.

Erfolgsgeheimnis: Liste systematisch alle günstigen Ergebnisse auf - dann kannst du nichts übersehen!

Kombinatorik: Die drei wichtigsten Formeln

Bei 49 Kugeln und 6 Ziehungen kommt es darauf an: Wird zurückgelegt? Ist die Reihenfolge wichtig?

Mit Zurücklegen und Reihenfolge: n^k = 49⁶ (jede Position hat 49 Möglichkeiten). Ohne Zurücklegen mit Reihenfolge: n!/$n-k$! = 49!/43! (Variation).

Ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen: (n über k) = (49 über 6) - das ist der Binomialkoeffizient für Kombinationen.

Merkregel: Zurücklegen = Potenz, Reihenfolge wichtig = Faktor, nur Auswahl = Binomialkoeffizient!

Teil B: Glücksrad und Häufigkeiten

Das Glücksrad-Experiment mit 1000 Drehungen zeigt den Unterschied zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten. 625-mal rot, 365-mal blau, 10-mal unentscheidbar.

Relative Häufigkeiten berechnest du durch Division der absoluten Häufigkeit durch die Gesamtzahl: h_R = 625/1000 = 0,625.

Die Wahrscheinlichkeit für eine eindeutige Entscheidung ist 990/1000 = 0,99, da nur 10 von 1000 Versuchen unentscheidbar waren.

Praxis-Tipp: Bei großen Versuchszahlen nähern sich relative Häufigkeiten den wahren Wahrscheinlichkeiten an!

Baumdiagramm und Pfadregeln

Die Spielshow kombiniert Münzwurf und nachfolgende Aktionen. Bei Kopf $1/2$ folgt das Glücksrad mit P(Grün) = 1/4, bei Zahl $1/2$ der Würfel mit P(6) = 1/6.

Pfadregeln anwenden: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren, verschiedene Gewinnpfade addieren. Gewinnen = $1/2 × 1/4$ + $1/2 × 1/6$.

Die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit beträgt 1/8 + 1/12 ≈ 20,8%. Passwortsicherheit: Mit 36 Zeichen $0-9 + A-Z$ und 5 Stellen gibt es 36⁵ mögliche Passwörter.

Baumdiagramm-Trick: Alle Wahrscheinlichkeiten einer Ebene müssen zusammen 1 ergeben!