Lernhilfe: Lineare Funktionen und Gleichungen einfach erklärt

Übersicht Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind eine der wichtigsten Grundlagen in Mathe - und ehrlich gesagt auch eine der nützlichsten! Du wirst sehen, dass sie in vielen Alltagssituationen auftauchen.

Diese Zusammenfassung deckt alle wichtigen Bereiche ab: vom Zeichnen von Geraden über das Bestimmen von Geradengleichungen bis hin zum Lösen linearer Gleichungen. Außerdem lernst du, wie du Schnittpunkte findest - sowohl mit den Achsen als auch zwischen verschiedenen Geraden.

💡 Merke dir: Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist immer y = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt ist.

Geraden zeichnen und Gleichungen ablesen

Du startest immer mit der allgemeinen Funktionsgleichung: y = mx + n. Bei y = ⅔x + 2 gehst du vom y-Achsenabschnitt (hier: 2) aus und nutzt dann das Steigungsdreieck.

Das Steigungsdreieck funktioniert so: Der untere Wert zeigt dir, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der obere Wert, wie viele nach oben. Bei ⅔ gehst du also 3 nach rechts und 2 nach oben.

Beim Ablesen einer Geradengleichung machst du es umgekehrt: Erst schaust du, wo die Gerade die y-Achse schneidet (das ist n), dann bestimmst du die Steigung mit dem Steigungsdreieck.

💡 Tipp: Negative Steigungen wie -2/1 bedeuten, dass du oben links im Graphen startest und nach unten gehst!

Geradengleichung mit Steigung und Punkt bestimmen

Wenn du eine Steigung und einen Punkt hast, kannst du die Geradengleichung sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch bestimmen. Die rechnerische Variante ist definitiv besser - sie ist schneller, einfacher und vor allem genauer!

So gehst du vor: Du setzt den gegebenen Punkt in die allgemeine Gleichung y = mx + n ein. Bei Steigung 2 und Punkt P(1|2) wird das zu: 2 = 2·1 + n. Löst du das auf, erhältst du n = 0, also y = 2x.

Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung. Wenn eine Gerade parallel zu y = -x + 2 verläuft und die x-Achse bei 4 schneidet, hat sie die Steigung -1 und geht durch P(4|0).

💡 Profi-Tipp: Nutze immer die rechnerische Methode - sie ist nicht nur genauer, sondern auch weniger fehleranfällig!

Mit zwei Punkten zur Geradengleichung

Hast du zwei Punkte gegeben, arbeitest du mit einer praktischen Checkliste: x-Wert, y-Wert, Steigung und y-Achsenabschnitt. Die ersten beiden hast du bereits durch die Punkte.

Zuerst berechnest du die Steigung mit dem Steigungsdreieck zwischen beiden Punkten. Bei P(1|4) und Q(4|2) gehst du 3 nach rechts und 2 nach unten, also m = -⅔.

Dann setzt du einen beliebigen Punkt in y = mx + n ein, um den y-Achsenabschnitt zu finden. Mit P(1|4) und m = -⅔ erhältst du: 4 = -⅔·1 + n, also n = 4⅔ ≈ 2,6.

💡 Checkliste nutzen: Arbeite systematisch die vier Punkte ab - so vergisst du nichts und machst weniger Fehler!

Lineare Gleichungen lösen und Achsenschnittpunkte

Lineare Gleichungen löst du durch Äquivalenzumformungen - bring alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere. Bei 4x + 1 = 2x + 5 subtrahierst du 2x und 1, erhältst 2x = 4 und damit x = 2.

Die Probe ist super wichtig: Setz dein Ergebnis in beide Seiten der ursprünglichen Gleichung ein. Kommen gleiche Zahlen raus, hast du richtig gerechnet!

Achsenschnittpunkte findest du so: Für die Nullstelle (x-Achsenabschnitt) setzt du y = 0, für den y-Achsenabschnitt setzt du x = 0 in die Gleichung ein.

💡 Kontrolliere immer: Wenn bei der Probe unterschiedliche Zahlen rauskommen, hast du dich verrechnet oder die Funktion ist nicht linear!