Mathe LK Lernzettel: Grundlagen zu Folgen und Reihen

Folgen und Glieder verstehen

Folgenglieder weiterzuführen ist eigentlich wie ein Zahlenrätsel lösen. Du schaust dir die Abstände zwischen den Zahlen an und suchst nach einem Muster.

Nehmen wir das Beispiel: a₁ = 3/2, a₂ = 3, a₃ = 9/2, a₄ = 6, a₅ = 15/2. Wenn du alles auf den gleichen Nenner bringst (hier 2), siehst du: 3/2, 6/2, 9/2, 12/2, 15/2. Der Zähler steigt immer um 3!

Wichtiger Tipp: Wenn die Vorzeichen zwischen + und - wechseln, dann hast du meist einen Term mit $-1$ⁿ oder ähnlichem. Die Variable n ist übrigens immer eine natürliche Zahl aus ℕ.

Merke dir: Erst alle Glieder auf die gleiche Form bringen, dann das Muster suchen!

Bildungsgesetze bestimmen und umwandeln

Es gibt zwei Arten von Bildungsgesetzen: explizite und rekursive. Das explizite gibt dir direkt das n-te Glied an (wie aₙ = n), das rekursive erklärt, wie du vom einen zum nächsten Glied kommst.

Für die Folge 1, 2, 3, 4... wäre explizit: aₙ = n und rekursiv: a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 1. Beide beschreiben dieselbe Folge, nur anders.

Umwandlung von explizit zu rekursiv: Du nimmst aₙ₊₁, setzt n+1 ein und bringst es in eine Form mit aₙ. Bei aₙ = 3·4ⁿ wird daraus aₙ₊₁ = 4·aₙ mit a₁ = 12.

Von rekursiv zu explizit schreibst du einfach die ersten Glieder auf und suchst das Muster - manchmal der einfachere Weg!

Tipp: Wenn du nicht weiterkommst, schreib einfach die ersten 4-5 Glieder auf. Das Muster wird meist schnell sichtbar!

Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folgen erkennst du daran, dass die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich ist. Die Folgenglieder steigen (oder fallen) um die gleiche Zahl d.

Explizit: aₙ = a₁ + $n-1$·d und rekursiv: aₙ₊₁ = aₙ + d. Bei aₙ = 5n + 8 ist d = 5, weil 13, 18, 23, 28... immer um 5 steigt.

Geometrische Folgen haben einen konstanten Quotienten q zwischen den Gliedern. Hier wird immer mit derselben Zahl multipliziert (oder durch sie geteilt).

Explizit: aₙ = q^$n-1$·a₁ und rekursiv: aₙ₊₁ = q·aₙ. Bei aₙ = 3·2ⁿ ist q = 2, weil jedes Glied doppelt so groß wie das vorherige ist.

Eselsbrücke: Arithmetisch = Addition (gleiche Differenz), Geometrisch = Geometrie wächst (gleicher Faktor)!

Grenzwerte berechnen

Den Grenzwert einer Folge findest du auf zwei Wegen. Mit dem Taschenrechner setzt du einfach sehr große Zahlen für n ein und schaust, welchem Wert sich die Folge annähert.

Bei aₙ = $2n+3$/n wird aus a₁ = 5, a₁₀ = 2,3, a₁₀₀ = 2,03 schnell klar: Der Grenzwert ist 2.

Ohne Taschenrechner teilst du alle Terme durch das höchste n. Alles mit 1/n, 1/n² usw. strebt gegen 0, wenn n gegen unendlich geht.

Bei aₙ = $2n³-3n²$/$4n³+2$ teilst du durch n³ und erhältst $2-3/n$/$4+2/n³$ = 2/4 = 1/2 für n → ∞.

Faustregel: Bei Brüchen entscheiden die höchsten Potenzen von n über den Grenzwert!

Konvergenz und Divergenz verstehen

Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen bestimmten Grenzwert hat. Divergent bedeutet, dass sie keinen festen Grenzwert besitzt.

Nullfolgen sind spezielle konvergente Folgen mit Grenzwert 0, wie aₙ = $1/2$ⁿ. Diese werden immer kleiner und nähern sich der 0 an.

Divergente Folgen können trotzdem einen "uneigentlichen Grenzwert" ∞ haben. Bei aₙ = 1,5ⁿ wachsen die Glieder ins Unendliche.

Die Epsilon-Umgebung zeigt grafisch, dass ab einem bestimmten N alle Folgenglieder innerhalb eines kleinen Bereichs um den Grenzwert g liegen (zwischen g-ε und g+ε).

Merkspruch: Konvergent = kommt an, Divergent = läuft weg (auch wenn es Richtung ∞ geht)!