Mathe Abitur Zusammenfassung: Stochastik einfach erklärt

Pfadregel und Erwartungswert

Stell dir vor, du drehst ein Glücksrad zweimal - mit der Pfadregel kannst du ganz einfach berechnen, wie wahrscheinlich bestimmte Kombinationen sind. Du multiplizierst einfach die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: P(rot-blau) = 3/4 × 1/4 = 18,75%.

Die Summenregel hilft dir bei komplexeren Ereignissen wie "mindestens einmal blau". Du addierst alle Einzelwahrscheinlichkeiten der passenden Ergebnisse zusammen.

Der Erwartungswert zeigt dir, was du langfristig bei einem Spiel gewinnen oder verlieren wirst. Bei dem Beispielspiel mit -0,27€ pro Runde würdest du auf Dauer Geld verlieren - das Spiel ist unfair.

Tipp: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert genau 0€ beträgt!

Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Manchmal verändert sich die Wahrscheinlichkeit, je nachdem was schon passiert ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) zeigt dir, wie wahrscheinlich B ist, wenn A bereits eingetreten ist.

Bei der Polizeikontrolle mit defekten Fahrrädern siehst du: Von allen beanstandeten Rädern sind trotzdem fast 60% nicht defekt! Das zeigt, wie wichtig es ist, die Reihenfolge der Information zu beachten.

Stochastisch unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht gegenseitig. Dann gilt: P(A∩B) = P(A) × P(B). Bei abhängigen Ereignissen funktioniert diese einfache Multiplikation nicht.

Merksatz: Ziehen ohne Zurücklegen macht Ereignisse abhängig, mit Zurücklegen bleiben sie unabhängig!

Binomialverteilung und Bernoulli-Formel

Eine Bernoulli-Kette liegt vor, wenn du dasselbe Experiment mehrmals wiederholst und es nur zwei Ausgänge gibt (Treffer/Niete). Beim 20-maligen Würfeln nach Sechsern hast du so eine Kette.

Die Formel von Bernoulli P$X=k$ = (n über k) × p^k × $1-p$^$n-k$ berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer. Dein Taschenrechner macht das mit "Binomialpdf" automatisch.

Für kumulierte Wahrscheinlichkeiten (höchstens, mindestens) nutzt du "Binomialcdf". "Mindestens 4" rechnest du am einfachsten als 1 minus "höchstens 3".

Praxis-Tipp: Lerne die Begriffe "höchstens", "mindestens", "mehr als" genau zu unterscheiden - das entscheidet über richtig oder falsch!

Erwartungswert und Parameter bestimmen

Der Erwartungswert μ = n×p und die Standardabweichung σ = √$n×p×(1-p)$ beschreiben das Zentrum und die Streuung deiner Binomialverteilung. Je größer σ, desto breiter wird dein Histogramm.

Manchmal musst du einen unbekannten Parameter bestimmen. Bei der Rot-Grün-Schwäche suchst du das n, sodass P(X≥5) ≥ 0,85 wird. Du probierst systematisch verschiedene Werte aus.

Beim Multiple-Choice-Test bestimmst du p so, dass P(X≥8) ≤ 0,05 wird. Du stellst die Ungleichung um und testest verschiedene Antwortmöglichkeiten durch.

Strategie: Verwandle "mindestens"-Aufgaben immer in "höchstens"-Aufgaben mit dem Gegenereignis - das rechnet sich leichter!

Normalverteilung

Die Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) beschreibt viele natürliche Phänomene wie Körpergrößen oder Brötchenmassen. Sie ist durch μ (Mittelwert) und σ (Standardabweichung) vollständig festgelegt.

Mit "normalcdf" auf dem Taschenrechner berechnest du Wahrscheinlichkeiten für Intervalle. Für P(52≤X≤54) gibst du die Grenzen und die Parameter μ=54, σ=2 ein.

Die Kurve ist symmetrisch um μ und wird durch σ breiter oder schmaler. Etwa 68% aller Werte liegen im Bereich μ±σ.

Wichtig: Bei der Normalverteilung arbeitest du mit Intervallen, nicht mit einzelnen Werten wie bei der Binomialverteilung!

Gauß'sche Glockenkurve skizzieren

Eine Glockenkurve mit μ=4 und σ=2 hat ihr Maximum bei x=4 und ist symmetrisch um diese Achse. Die Standardabweichung σ=2 bestimmt, wie breit die Kurve wird.

Die Kurve nähert sich asymptotisch der x-Achse an, berührt sie aber nie. Etwa bei μ±3σ kannst du sie praktisch als auf der x-Achse liegend betrachten.

Skizzen-Tipp: Zeichne zuerst die senkrechte Linie bei μ, dann die symmetrische Glocke drumherum!