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Grundlegende Ableitungsregeln

Exponentialfunktionen

MatheMathe1,882 aufrufe·Aktualisiert May 26, 2026·2 Seiten

Tipps für die Mathe-Abi-Prüfung: Teil Analysis

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Kat@katfeld

In der Mathematik-Abiturprüfung musst du oft mit Exponentialfunktionen arbeiten. Diese... Mehr anzeigen

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a) (1) Zeigen Sie, dass x = 0,25 die einzige Nullstelle der Funktion f ist, und begründen Sie, dass f(x) < 0 für x > 0,25. (2) Bestimmen Si

Aufgabenteil a) - Nullstellen, Extrempunkte und Stammfunktion

Bei dieser Exponentialfunktion f(x) = 1−4x1-4x · e^−4x-4x musst du systematisch vorgehen. Für die Nullstelle setzt du f(x) = 0 - da e^−4x-4x nie null wird, muss 1−4x1-4x = 0 sein, also x = 0,25.

Der globale Extrempunkt lässt sich über die erste Ableitung f'(x) = -42−4x2-4x · e^−4x-4x finden. Setze f'(x) = 0 und du erhältst x = 0,5 als Extremstelle.

💡 Merktipp: Bei Produkten aus Polynom und e-Funktion wird oft die Produktregel für die Ableitung benötigt!

Die Stammfunktion F(x) = xe^−4x-4x kannst du durch Ableiten überprüfen. Mit der Produktregel erhältst du genau f(x) zurück.

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a) (1) Zeigen Sie, dass x = 0,25 die einzige Nullstelle der Funktion f ist, und begründen Sie, dass f(x) < 0 für x > 0,25. (2) Bestimmen Si

Aufgabenteil b) - Flächenberechnungen und Optimierung

Die Flächenberechnung im ersten Quadranten erfolgt über das Integral von 0 bis 0,25. Da f(x) in diesem Bereich positiv ist, entspricht ∫₀^(0,25) f(x) dx der gesuchten Fläche A_f ≈ 0,09 FE.

Für u > 0,25 gilt ∫₀^u f(x) dx < A_f, weil f(x) für x > 0,25 negativ wird. Das Integral wird dadurch kleiner statt größer.

💡 Praxistipp: Negative Funktionswerte verkleinern das Integral - achte immer auf das Vorzeichen!

Bei der Rechteckoptimierung bildest du die Zielfunktion A(r) = r · f(r) für den Flächeninhalt. Durch Ableiten und Nullsetzen findest du den optimalen Punkt P, der das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt ergibt.

Wir dachten schon, du fragst nie...

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4.7/5Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin

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Kat@katfeld

In der Mathematik-Abiturprüfung musst du oft mit Exponentialfunktionen arbeiten. Diese Aufgabe zeigt dir, wie du mit der Funktion f(x) = (1-4x) · e^(-4x) umgehst - von Nullstellen bis hin zu Flächenberechnungen.

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Aufgabenteil a) - Nullstellen, Extrempunkte und Stammfunktion

Bei dieser Exponentialfunktion f(x) = 1−4x1-4x · e^−4x-4x musst du systematisch vorgehen. Für die Nullstelle setzt du f(x) = 0 - da e^−4x-4x nie null wird, muss 1−4x1-4x = 0 sein, also x = 0,25.

Der globale Extrempunkt lässt sich über die erste Ableitung f'(x) = -42−4x2-4x · e^−4x-4x finden. Setze f'(x) = 0 und du erhältst x = 0,5 als Extremstelle.

💡 Merktipp: Bei Produkten aus Polynom und e-Funktion wird oft die Produktregel für die Ableitung benötigt!

Die Stammfunktion F(x) = xe^−4x-4x kannst du durch Ableiten überprüfen. Mit der Produktregel erhältst du genau f(x) zurück.

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a) (1) Zeigen Sie, dass x = 0,25 die einzige Nullstelle der Funktion f ist, und begründen Sie, dass f(x) < 0 für x > 0,25. (2) Bestimmen Si

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Aufgabenteil b) - Flächenberechnungen und Optimierung

Die Flächenberechnung im ersten Quadranten erfolgt über das Integral von 0 bis 0,25. Da f(x) in diesem Bereich positiv ist, entspricht ∫₀^(0,25) f(x) dx der gesuchten Fläche A_f ≈ 0,09 FE.

Für u > 0,25 gilt ∫₀^u f(x) dx < A_f, weil f(x) für x > 0,25 negativ wird. Das Integral wird dadurch kleiner statt größer.

💡 Praxistipp: Negative Funktionswerte verkleinern das Integral - achte immer auf das Vorzeichen!

Bei der Rechteckoptimierung bildest du die Zielfunktion A(r) = r · f(r) für den Flächeninhalt. Durch Ableiten und Nullsetzen findest du den optimalen Punkt P, der das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt ergibt.

Wir dachten schon, du fragst nie...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.

Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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Genau! Genieße kostenlosen Zugang zu Lerninhalten, vernetze dich mit anderen Schülern und hol dir sofortige Hilfe – alles direkt auf deinem Handy.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan SiOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha KlichAndroid-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

AnnaiOS-Nutzerin