Mathe-Übersicht bis Klasse 10 — Themen, Formeln & Übungen (BLF)

Mathe-Übersicht

Inhalt des Guides

Diese Übersicht strukturiert das wichtigste Basiswissen der Schulmathematik.

• Fokus: Schnelle Orientierung und direkte Anwendbarkeit im Unterricht.
• Themen: Zahlenbereiche, Gleichungen, Funktionen und Geometrie.

💡 Tipp: Nutze diese Übersicht gezielt zum schnellen Nachschlagen vor Tests.

Zahlen, Größen & Rechnen

Zahlenbereiche & Bruchrechnen

Die richtige Zahlenmenge bestimmen und Brüche sicher umstellen.

• Zahlenmengen: $\mathbb{N}$ (natürliche), $\mathbb{Z}$ (ganze), $\mathbb{Q}$ (rationale) und $\mathbb{R}$ (reelle Zahlen).
• Bruchdivision: Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

Prozent, Potenzen & Runden

Prozentwerte berechnen und mit Exponenten rechnen.

• Prozentformel: $W = \frac{G \cdot p}{100}$ mit Grundwert $G$ und Prozentsatz $p$.
• Runden: Abrunden bei $0$ bis $4$, Aufrunden ab $5$.

Beispiel: $5\%$ von $200$: $W = \frac{200 \cdot 5}{100} = 10$.

💡 Tipp: Merke dir für Brüche immer: "Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner".

Terme & $Un-$Gleichungen

Binome & Rechengesetze

Terme vereinfachen mit Formeln und Potenzgesetzen.

• Binomische Formeln: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ und $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
• Potenzgesetz: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ und $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.

Quadratische Gleichungen

Gleichungen lösen durch Ausklammern oder Formeln.

• p-q-Formel: $x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$ für $x^2+px+q=0$.
• Produktgleichung: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.

Beispiel: $x^2 - 4 = 0$: $x^2 = 4 \rightarrow x_{1/2} = \pm 2$.

💡 Tipp: Setze die Gleichung immer erst in die Normalform $x^2+px+q=0$, bevor du die p-q-Formel nutzt.

Lineare Gleichungssysteme

Rechnerische Lösungsverfahren

Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten systematisch lösen.

• Gleichsetzungsverfahren: Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen und gleichsetzen.
• Einsetzungsverfahren: Eine Variable isolieren und in die andere Gleichung einsetzen.
• Additionsverfahren: Gleichungen addieren, sodass eine Variable wegfällt.

Grafische Lösung

• Schnittpunkt: Der Schnittpunkt der Geraden ist die eindeutige Lösung.

💡 Tipp: Vergiss am Ende nie die Probe durch Einsetzen deiner Ergebnisse in die Ausgangsgleichungen.

Lineare Funktionen

Funktionsgleichung & Graphen

Geraden im Koordinatensystem verstehen und berechnen.

• Formel: $f(x) = m \cdot x + n$ mit Steigung $m$ und y-Achsenabschnitt $n$.
• Steigung: Berechnen durch zwei Punkte mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Lage: Parallel bei $m_1 = m_2$, orthogonal bei $m_1 \cdot m_2 = -1$.

Schnittpunkte berechnen

• Vorgehen: Graphen gleichsetzen ($f(x) = g(x)$), nach $x$ auflösen und $y$ bestimmen.

💡 Tipp: Steigt der Graph von links nach rechts, ist $m$ positiv; fällt er, ist $m$ negativ.

Potenzfunktionen

Parabeln & Hyperbeln

Eigenschaften von Funktionen mit Potenzen bestimmen.

• Gerader Exponent: Achsensymmetrisch zur y-Achse ($x^2$ ist Parabel, $x^{-2}$ ist Hyperbel).
• Ungerader Exponent: Punktsymmetrisch zum Ursprung ($x^3$ bzw. $x^{-3}$).
• Asymptoten: Hyperbeln nähern sich den Achsen $x=0$ und $y=0$ an.

Parameter-Einfluss

• Verschiebung: $f(x) = a(x+d)^n + e$ verschiebt um $d$ nach links/rechts und $e$ nach oben/unten.

💡 Tipp: Ein Minus vor dem $a$ spiegelt den gesamten Graphen an der x-Achse.

Quadratische- & Wurzelfunktionen

Darstellungsformen & Scheitelpunkt

Quadratische Funktionen analysieren und umformen.

• Scheitelpunktform: $f(x) = a(x-d)^2 + e$ zeigt den Scheitelpunkt direkt bei $S(d|e)$.
• Quadratische Ergänzung: Verwandelt die Normalform in die Scheitelpunktform.
• Wurzelfunktion: Umkehrung der quadratischen Funktion mit der Grundform $f(x) = \sqrt[n]{x}$.

Beispiel: SPF von $f(x) = (x-2)^2 + 3$: $S(2|3)$.

💡 Tipp: Achte auf das Vorzeichen bei der x-Koordinate im Scheitelpunkt: Aus $(x-d)^2$ wird $+d$.

Geometrie in der Ebene

Flächen & Sätze im Dreieck

Winkel und Längen in zweidimensionalen Figuren berechnen.

• Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ gilt ausschließlich im rechtwinkligen Dreieck.
• Winkelsumme: Im Dreieck immer $180^\circ$, im Viereck immer $360^\circ$.
• Satz des Thales: Jeder Winkel im Halbkreis über der Hypotenuse ist $90^\circ$.

Beispiel: Pythagoras mit $a=3, b=4$: $c^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \rightarrow c = 5$.

💡 Tipp: Die Hypotenuse $c$ liegt im rechtwinkligen Dreieck immer gegenüber dem rechten Winkel.

Geometrie im Raum & Stochastik

Volumen & Darstellung

Körper berechnen und im Raum darstellen.

• Volumen: Würfel $V = a^3$, Zylinder $V = \pi r^2 \cdot h$, Kugel $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
• Schrägbild: Nach hinten gehende Kanten werden im $45^\circ$-Winkel gezeichnet.

Zufall & Wahrscheinlichkeit

• Baumdiagramm: Pfadregeln nutzen (entlang multiplizieren, Pfade addieren).
• Fakultät: $n!$ berechnet die Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten.

💡 Tipp: Bei Laplace-Versuchen haben alle Ergebnisse exakt die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Trigonometrie

Berechnungen im Dreieck

Winkel und Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bestimmen.

• Formeln: $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ und $cos(\alpha) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$.
• Tangens: $tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$.

Trigonometrische Funktionen

• Sinusfunktion: Periodischer Verlauf mit Periode $2\pi$ und Amplitude $1$.
• Parameter: $a \cdot sin(b \cdot x)$ verändert Amplitude ($a$) und Periode ($b$).

💡 Tipp: Stelle deinen Taschenrechner bei geometrischen Aufgaben immer auf "DEG" (Gradmaß) ein.