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Mathe2.583Aktualisiert 31. Aug. 20266 Seiten

Mathe Lernzettel Zentrale Klausur EPH 2025

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Potenzfunktionen und Vektoren sind zwei zentrale Themen der Oberstufen-Mathematik, die dir in der 11. Klasse begegnen. Während Potenzfunktionen verschiedene charakteristische Verläufe zeigen und durch Ableitungen analysiert werden können, helfen dir Vektoren dabei, Punkte und Bewegungen im dreidimensionalen Raum zu beschreiben.
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Potenzfunktionen verstehen

Potenzfunktionen der Form fxx = axⁿ verhalten sich je nach Exponent völlig unterschiedlich - und das ist eigentlich ziemlich logisch! Bei geradem, positivem Exponenten n=2,4,10n = 2, 4, 10 entstehen U-förmige Kurven, die achsensymmetrisch zur y-Achse sind.

Ungerade, positive Exponenten n=1,3,9n = 1, 3, 9 erzeugen dagegen punktsymmetrische Funktionen zum Ursprung - sie sehen aus wie gestreckte S-Kurven. Beide Typen verlaufen durch die charakteristischen Punkte P(1|1) und R(0|0).

Bei negativen Exponenten wird's interessant: Die Funktionen haben Definitionslücken und nähern sich den Achsen an, ohne sie zu berühren. Auch hier gilt: gerade Exponenten → achsensymmetrisch, ungerade Exponenten → punktsymmetrisch.

💡 Merktipp: Gerade Exponenten = symmetrisch zur y-Achse, ungerade Exponenten = symmetrisch zum Ursprung!

Transformationen verschieben und strecken diese Grundfunktionen: Der Parameter a streckt in y-Richtung, b in x-Richtung, c verschiebt horizontal und d vertikal.

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Ganzrationale Funktionen analysieren

Ganzrationale Funktionen sind wie die großen Geschwister der Potenzfunktionen - sie kombinieren verschiedene Potenzen zu einer Funktion. Die allgemeine Form fxx = aₙxⁿ + aₙ₋₁x^n−1n-1 + ... + a₁x + a₀ sieht kompliziert aus, folgt aber klaren Regeln.

Das Grenzverhalten wird immer vom Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt - alle anderen werden bei sehr großen x-Werten unwichtig. Bei geradem höchstem Exponenten gehen beide Äste in dieselbe Richtung, bei ungeradem in entgegengesetzte Richtungen.

Symmetrie erkennst du sofort am Funktionsterm: Nur gerade Exponenten → achsensymmetrisch zur y-Achse. Nur ungerade Exponenten → punktsymmetrisch zum Ursprung. Gemischte Exponenten → keine Symmetrie.

💡 Prüfungstipp: Eine Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen - das ist immer eine beliebte Klausurfrage!

Nullstellen findest du durch Faktorisieren, Ausklammern oder die pq-Formel. In faktorisierter Form kannst du sie direkt ablesen.

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Ableitungen meistern

Die Ableitung ist dein Werkzeug, um herauszufinden, wie steil eine Funktion an jedem Punkt verläuft. Die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten entspricht der Steigung der Sekante - das kennst du schon aus der Mittelstufe.

Viel spannender ist die momentane Änderungsrate: Sie gibt die exakte Steigung an einem einzigen Punkt an und entspricht der Steigung der Tangente. Mathematisch ist das der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Die Ableitungsregeln sind deine besten Freunde: Potenzregel (xⁿ wird zu n·x^n−1n-1), Faktorregel (Konstanten bleiben als Faktor stehen) und Summenregel (jeden Term einzeln ableiten). Bei fxx = x ist die Ableitung immer 1, bei konstanten Funktionen immer 0.

💡 Visualisierungstipp: Ist f'xx positiv, steigt fxx an. Ist f'xx negativ, fällt fxx. Ist f'xx = 0, hat fxx einen waagerechten Punkt!

Potenzregel-Beispiel: fxx = x⁷ → f'xx = 7x⁶. Der Exponent wandert nach vorn, dann wird er um 1 verringert.

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Kurvenuntersuchung komplett

Tangenten berechnen ist ein Dreischritt: Erst den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, dann die Steigung über f'(x₀) berechnen, schließlich die Geradengleichung aufstellen. Die Normale steht senkrecht zur Tangente, ihre Steigung ist der negative Kehrwert.

Extrempunkte findest du systematisch: f'xx = 0 setzen (notwendige Bedingung), dann f''xx bilden und prüfen (hinreichende Bedingung). Ist f''(x₀) > 0, hast du ein Minimum. Ist f''(x₀) < 0, ein Maximum.

Die Monotonie liest du direkt an f'xx ab: Ist die erste Ableitung positiv, steigt die Funktion. Ist sie negativ, fällt sie. So einfach ist das!

💡 Klausur-Hack: Lerne die pq-Formel und die binomischen Formeln auswendig - die brauchst du ständig beim Lösen von f'xx = 0!

Wendepunkte erfordern die dritte Ableitung: f''xx = 0 (notwendige Bedingung) und f'''(x₀) ≠ 0 (hinreichende Bedingung). Das Krümmungsverhalten erkennst du an f''xx: positiv = linksgekrümmt (Lächeln), negativ = rechtsgekrümmt (Trauer).

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Punkte im Raum verstehen

Der dreidimensionale Raum erweitert dein bisheriges Koordinatensystem um eine dritte Achse - jetzt brauchst du drei Koordinaten P(x|y|z) für jeden Punkt. Die drei Grundebenen xy-, xz- und yz-Ebene teilen den Raum in acht Bereiche.

Den Mittelpunkt einer Strecke berechnest du wie gewohnt: Alle Koordinaten der Endpunkte addieren und durch 2 teilen. Bei A(1|2|3) und B(5|4|7) ist M also (1+5)/2∣(2+4)/2∣(3+7)/2(1+5)/2 | (2+4)/2 | (3+7)/2 = M(3|3|5).

Abstände zwischen Punkten berechnest du mit der erweiterten Pythagorras-Formel: d = √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)². Das ist logisch - du berechnest einfach die Diagonale eines dreidimensionalen Quaders.

💡 Vorstellungshilfe: Stell dir vor, du willst von einem Punkt zum anderen - erst gehst du in x-Richtung, dann in y-Richtung, dann in z-Richtung. Der direkte Weg ist die Diagonale!

Die Berechnung funktioniert genauso wie im zweidimensionalen Fall, nur mit einer zusätzlichen Koordinate.

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Vektoren rechnen und verstehen

Vektoren sind Verschiebungen im Raum - stell sie dir wie Pfeile vor, die eine Richtung und eine Länge haben. Sie werden durch drei Komponenten beschrieben und mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Der Nullvektor verschiebt gar nichts, der Gegenvektor verschiebt in die entgegengesetzte Richtung.

Ortsvektoren zeigen vom Ursprung zu einem bestimmten Punkt - sie sind wie Wegbeschreibungen vom Koordinatenursprung aus. Einen Vektor von Punkt A zu Punkt B berechnest du durch "Ziel minus Start": Die x-Koordinate von B minus die von A, und so weiter.

Der Betrag eines Vektors ist seine Länge und wird mit der Formel |v⃗| = √v12+v22+v32v₁² + v₂² + v₃² berechnet. Das ist wieder der gute alte Pythagoras, nur in drei Dimensionen!

💡 Rechenregel: Vektoraddition und -subtraktion funktioniert komponentenweise - einfach die entsprechenden Zahlen addieren oder subtrahieren!

Skalarmultiplikation streckt oder staucht Vektoren: Multiplizierst du mit 2, wird der Vektor doppelt so lang. Mit -1 drehst du ihn um. Kollineare Vektoren sind Vielfache voneinander - sie zeigen in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung.

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