Diese Aufgabe zeigt dir, wie du systematisch mit Quadern im 3D-Raum arbeitest. Du musst von gegebenen Eckpunkten die fehlenden Koordinaten bestimmen und verschiedene Vektorrechnungen durchführen.

Wichtige Schritte beim Quader: Wenn du drei Eckpunkte kennst, findest du die anderen durch geschickte Addition der Kantenvektoren. Der Raumdiagonalenvektor verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Quaders.

Bei Linearkombinationen wie $\vec{OM} = \vec{DA} + \frac{1}{2}\vec{AB}$ gehst du Schritt für Schritt vor: Erst die einzelnen Vektoren berechnen, dann addieren. Kollineare Vektoren erkennst du daran, dass einer das Vielfache des anderen ist.

Tipp: Zeichne dir immer eine Skizze vom Quader - das hilft beim Verstehen der Zusammenhänge!

Hier lernst du, wie du systematisch beweist, dass ein Viereck ein Quadrat ist. Das machst du in drei Schritten: Parallelität der Gegenseiten zeigen, gleiche Seitenlängen nachweisen und rechte Winkel bestätigen.

Für die Parallelität berechnest du die Kantenvektoren - sind sie identisch, sind die Seiten parallel. Die Seitenlängen findest du über den Betrag der Vektoren: $|\vec{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Den rechten Winkel weist du mit dem Satz des Pythagoras nach: $a^2 + b^2 = c^2$. Bei der Pyramide brauchst du die Formel $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$, wobei die Höhe der Abstand von der Spitze zur Grundfläche ist.

Merke dir: Arbeite bei Nachweisen immer strukturiert - erst Parallelität, dann Längen, dann Winkel!

Diese Anwendungsaufgabe zeigt dir, wie Vektoren in der Realität funktionieren. Die Bautrupps bewegen sich entlang von Geraden, die durch Gleichungen der Form $\vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{r}$ beschrieben werden.

Die Geschwindigkeit berechnest du aus dem Weg-Zeit-Verhältnis: Erst den Wegvektor bestimmen, dann seinen Betrag durch die Zeit teilen. Der Parameter in den Geradengleichungen gibt die Zeit in Stunden an.

Ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, findest du durch Gleichsetzen heraus. Setze die Koordinaten des Zielpunkts in die Geradengleichung ein und löse nach dem Parameter auf. Stimmen alle drei Koordinaten überein, liegt der Punkt auf der Geraden.

Praxis-Tipp: Bei Bewegungsaufgaben immer erst überlegen, was die Parameter bedeuten - meist ist es Zeit oder Strecke!