Mathematik Grundlagen leicht erklärt

Grundrechenarten und Zahlen

Zahlen haben verschiedene Funktionen im Alltag. Sie können eine Anzahl anzeigen, zum Vergleich dienen oder als reine Abstraktion verwendet werden.

Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal. Du kannst 3 + 7 oder 7 + 3 rechnen und erhältst immer 10 als Ergebnis. Die Null als Summand verändert den Wert nicht. Du darfst auch erst Teilergebnisse berechnen, um schneller zum Ergebnis zu kommen.

Die Multiplikation ist eine verkürzte Schreibweise der Addition. Auch hier ist die Reihenfolge unwichtig: 3 · 7 = 7 · 3 = 21. Mit der Zahl 1 zu multiplizieren ändert nichts, mit 0 ergibt immer 0. Denk daran: Punktrechnung (Multiplikation) kommt vor Strichrechnung (Addition/Subtraktion)!

Merke dir: Die Multiplikation ist wie wiederholtes Addieren. Bei 3 · 7 addierst du eigentlich sieben Mal die 3 oder drei Mal die 7.

Subtraktion, Division und Klammerregeln

Bei Klammerregeln gilt: Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Bei mehreren Klammern löst du zuerst die inneren, dann die äußeren auf.

Die Subtraktion funktioniert anders als die Addition. Der Minuend ist die Zahl, von der etwas abgezogen wird, der Subtrahend die Zahl, die abgezogen wird. Wichtig: Die Reihenfolge darfst du nicht ändern! 3 - 7 ist nicht das gleiche wie 7 - 3. Die Null als Subtrahend verändert den Wert nicht.

Bei der Division ist die Reihenfolge ebenfalls entscheidend. Die Zahl, die geteilt wird, nennt man Dividend, die Zahl, durch die geteilt wird, heißt Divisor. Auch hier darf die Reihenfolge nicht vertauscht werden. Division durch 1 ändert nichts, und durch 0 darfst du niemals teilen!

Wichtig: Du kannst die Subtraktion durch Addition überprüfen und die Division durch Multiplikation. Das nennt man Umkehrprobe!

Zahlenmengen und Zahlenstrahl

Es gibt verschiedene Zahlenmengen, die wie Schachteln ineinander liegen. Die natürlichen Zahlen (N) sind die positiven ganzen Zahlen und die 0. Die ganzen Zahlen (Z) enthalten zusätzlich die negativen Zahlen. Rationale Zahlen (Q) sind alle Brüche, und reelle Zahlen (IR) umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen wie π.

Der Zahlenstrahl hilft dir, Zahlen als Strecke darzustellen. Zwischen 0 und 1 liegt die Einheitsstrecke. Jede natürliche Zahl hat genau einen Vorgänger und einen Nachfolger. Bei sehr großen Zahlen zeigt man meist nur einen Ausschnitt des Zahlenstrahls.

Natürliche Zahlen haben besondere Eigenschaften: 0 ist die kleinste, jede hat einen Nachfolger, zwischen einer Zahl und ihrem Nachfolger liegt keine weitere natürliche Zahl, und es gibt keine größte natürliche Zahl.

Interessant: Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Die 1 ist keine Primzahl, aber 2, 3, 5, 7, 11... gehören dazu!

Rechengesetze und Stellenwertsystem

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) erlaubt dir, die Reihenfolge bei Addition und Multiplikation zu ändern. 2 + 3 = 3 + 2 und 5 · 3 = 3 · 5.

Mit dem Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz) kannst du bei Addition und Multiplikation die Klammern beliebig setzen. $3 + 4$ + 5 = 3 + $4 + 5$ = 12.

Das Distributivgesetz hilft beim Ausmultiplizieren von Klammern: 3 · $4 + 7$ = 3 · 4 + 3 · 7 = 12 + 21 = 33. Es verbindet die Multiplikation mit der Addition.

Beim Stellenwertsystem hat jede Stelle einen bestimmten Wert. In unserem Dezimalsystem steht jede Ziffer für einen Wert mal 10 hoch etwas. Von rechts nach links: Einer (10⁰), Zehner (10¹), Hunderter (10²), Tausender (10³), usw.

Tipp: Die Rechengesetze helfen dir, komplizierte Aufgaben zu vereinfachen. Kannst du eine Rechnung nicht sofort lösen, versuche die Zahlen geschickt nach diesen Gesetzen umzustellen!

Schriftliches Rechnen

Das schriftliche Rechnen hilft dir bei großen Zahlen, wo Kopfrechnen zu schwierig wird. Es nutzt das Stellenwertsystem, um Zahlen schrittweise zu verarbeiten.

Beim schriftlichen Addieren beginnst du rechts und addierst Stelle für Stelle. Ist eine Summe größer als 9, merkst du dir einen Übertrag für die nächste Stelle links. Das funktioniert auch mit mehreren Zahlen!

Beim schriftlichen Subtrahieren startest du ebenfalls rechts. Wenn die obere Ziffer kleiner als die untere ist, musst du dir von der nächsten Stelle links "etwas leihen". Du subtrahierst dann von der um 10 erhöhten Ziffer.

Bei der schriftlichen Multiplikation multiplizierst du jede Stelle des Multiplikators mit dem gesamten Multiplikanden. Die Teilergebnisse schreibst du untereinander und addierst sie am Ende.

Die schriftliche Division funktioniert schrittweise. Du teilst den Dividenden ziffernweise durch den Divisor, notierst den Quotienten und den Rest, holst die nächste Ziffer herunter und wiederholst den Vorgang.

Achtung: Bei der schriftlichen Division kannst du manchmal nicht direkt teilen. Dann schreibst du eine 0 in den Quotienten und holst die nächste Ziffer herunter!

Gleichungen und Ungleichungen

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern, aber ohne Gleich- oder Vergleichszeichen. Beispiele sind 2x + 5 oder 3$y - 2$.

Variablen sind Platzhalter für unbekannte Zahlenwerte, die meist mit Kleinbuchstaben wie x, y oder z dargestellt werden. Sie helfen dir, allgemeine Beziehungen auszudrücken.

Eine Gleichung verbindet zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel 2x + 3 = 7. Du hast die Gleichung gelöst, wenn beide Seiten denselben Wert haben. Dafür musst du den Wert der Variable$n$ bestimmen.

Eine Ungleichung verwendet statt dem Gleichheitszeichen ein Vergleichszeichen wie <, >, ≤ oder ≥. Zum Beispiel: 2x + 3 < 7. Auch hier suchst du die Werte für die Variablen, die die Ungleichung erfüllen.

Praxistipp: Um Gleichungen zu lösen, führe auf beiden Seiten die gleichen Operationen durch, bis die Variable alleine steht. Bei x + 3 = 7 subtrahierst du auf beiden Seiten 3 und erhältst x = 4.