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Mathematik

Matrizenoperationen und Transformationen

Mathe4.377Aktualisiert 19. Okt. 20265 Seiten

Grundlagen der Matrizen: Einführung und Konzepte

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Matrizen sind wie Tabellen mit Zahlen, die du mit bestimmten Regeln berechnen kannst. Diese Grundrechenarten brauchst du für viele Bereiche der Mathematik und sind einfacher zu verstehen, als sie auf den ersten Blick aussehen.
Matrizen – Seite 1

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Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation

Bei der Addition und Subtraktion von Matrizen gehst du ganz einfach vor: Du rechnest jeden Platz einzeln. Die beiden Matrizen müssen aber das gleiche Format haben - also gleich viele Zeilen und Spalten.

Du addierst einfach die Zahlen, die an derselben Stelle stehen: erste Zeile, erste Spalte plus erste Zeile, erste Spalte. Das machst du für alle Positionen durch.

Bei der skalaren Multiplikation multiplizierst du jede einzelne Zahl in der Matrix mit derselben Zahl. Wenn du eine Matrix mit 2 multiplizierst, wird jeder Eintrag verdoppelt.

Merktipp: Stell dir Matrizen wie Schachteln vor - du kannst nur gleichgroße Schachteln zusammenpacken!

Matrizen – Seite 2

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Multiplikation von Matrizen

Die Matrixmultiplikation ist anders als normale Multiplikation - hier gilt nicht das Vertauschungsgesetz! A × B ist meist nicht dasselbe wie B × A.

Das wichtigste Prinzip ist "Zeile mal Spalte": Du nimmst eine Zeile aus der ersten Matrix und multiplizierst sie mit einer Spalte aus der zweiten Matrix. Dabei multiplizierst du die entsprechenden Zahlen und addierst alles zusammen.

Damit das funktioniert, muss die Spaltenanzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenanzahl der zweiten Matrix sein. Die Ergebnismatrix hat dann die Zeilen der ersten und die Spalten der zweiten Matrix.

Eselsbrücke: Wenn du eine 3×3 Matrix mit einer 3×2 Matrix multiplizierst, kommt eine 3×2 Matrix raus!

Matrizen – Seite 3

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Rechenbeispiel Schritt für Schritt

Hier siehst du konkret, wie die Matrixmultiplikation abläuft. Du hast eine 2×3 Matrix mal eine 3×2 Matrix - das Ergebnis wird eine 2×2 Matrix.

Für jedes Feld im Ergebnis machst du eine "Zeile mal Spalte" Rechnung. Erste Zeile der ersten Matrix × erste Spalte der zweiten Matrix gibt das erste Feld oben links.

Die Berechnungen: 7×1 + −2-2×0 + 3×1 = 10 für das erste Feld. So gehst du systematisch durch alle Kombinationen von Zeilen und Spalten.

Tipp: Arbeite immer strukturiert von links nach rechts und von oben nach unten - so verlierst du nicht den Überblick!

Matrizen – Seite 4

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Matrix mal Vektor

Wenn du eine Matrix mit einem Vektor multiplizierst, funktioniert das nach demselben "Zeile mal Spalte" Prinzip. Ein Vektor ist ja wie eine Matrix mit nur einer Spalte.

Das Ergebnis ist immer ein neuer Vektor mit genauso vielen Einträgen wie die Matrix Zeilen hat. Jede Zeile der Matrix wird mit dem ganzen Vektor multipliziert und gibt einen Eintrag im Ergebnisvektor.

Auch hier gilt: Die Spaltenanzahl der Matrix muss mit der Länge des Vektors übereinstimmen. Sonst geht die Rechnung nicht auf.

Anwendung: Solche Rechnungen brauchst du zum Beispiel bei Koordinatentransformationen in der Geometrie!

Matrizen – Seite 5

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Praktisches Rechenbeispiel

Hier siehst du ein vollständiges Beispiel für Matrix mal Vektor. Eine 3×3 Matrix wird mit einem Vektor der Länge 3 multipliziert.

Das Ergebnis berechnest du, indem jede Zeile der Matrix mit dem ganzen Vektor multipliziert wird. Erste Zeile: 1×2 + 2×3 + 7×7 = 2 + 6 + 49 = 57 (hier steht im Beispiel 6, aber das wäre ein Rechenfehler).

Der Ergebnisvektor hat drei Einträge, weil die Matrix drei Zeilen hat. So funktioniert die Transformation von einem Vektor in einen anderen.

Kontrolle: Zähle immer nach - die Anzahl der Ergebniseinträge muss mit der Zeilenzahl der Matrix übereinstimmen!

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