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24. Jan. 2026
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Lernzettel etc.
@lernzetteletc.
Matrizen sind super praktische Werkzeuge, um komplexe Berechnungen zu organisieren... Mehr anzeigen
Die Matrizenmultiplikation funktioniert nur, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. Das ist wie ein Puzzle - die Teile müssen zusammenpassen!
Eine stochastische Matrix ist quadratisch und hat eine besondere Eigenschaft: Jede Spaltensumme beträgt genau 1. Alle Einträge sind zwischen 0 und 1 - das macht Sinn, weil sie Wahrscheinlichkeiten darstellen.
Der Fixvektor (auch Grenzverteilung) ist das Herzstück stochastischer Matrizen. Er zeigt dir den langfristigen Zustand eines Systems. Um ihn zu finden, löst du die Gleichung P·g = g zusammen mit der Bedingung, dass alle Komponenten sich zu 1 addieren.
Merktipp: Bei stochastischen Matrizen denkst du an Wahrscheinlichkeiten - deshalb ergeben die Spalten immer 1 und alle Werte sind positiv!
Die Einheitsmatrix ist wie die Zahl 1 bei der normalen Multiplikation - sie verändert andere Matrizen nicht. Sie ist quadratisch mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen überall sonst.
Bei der inversen Matrix A⁻¹ gilt: A·A⁻¹ = E (Einheitsmatrix). Nicht jede Matrix hat eine Inverse, aber wenn sie eine hat, ist sie sehr nützlich zum Lösen von Gleichungssystemen.
Populationsentwicklung funktioniert anders als stochastische Matrizen. Hier beschreibst du, wie sich Tierpopulationen von einer Lebensphase zur nächsten entwickeln - mit Geburten- und Sterberaten.
Wichtig: Populationsmatrizen sind KEINE stochastischen Matrizen, weil durch Fortpflanzung die Spaltensumme nicht 1 ist!
Bedarfsmatrizen helfen dir bei alltäglichen Planungsproblemen - wie beim Backen! Du erstellst eine Matrix, die zeigt, wie viel von jeder Zutat du für verschiedene Kuchen brauchst.
Der Trick ist die richtige Anordnung: Zutaten in den Zeilen, Kuchenarten in den Spalten. Wenn du dann mit einem Vektor multiplizierst, der angibt, wie viele Kuchen du backen willst, erhältst du automatisch deinen Gesamtbedarf.
Bei komplexeren Problemen verwendest du mehrstufige Bedarfsmatrizen. Manche Zutaten müssen erst weiterverarbeitet werden (wie Karamell aus Zucker), bevor sie in das Endprodukt kommen.
Praxistipp: Bedarfsmatrizen sind überall - von Küchenplanung bis zur Industrieproduktion. Das Prinzip bleibt gleich!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Lernzettel etc.
@lernzetteletc.
Matrizen sind super praktische Werkzeuge, um komplexe Berechnungen zu organisieren - vom Multiplizieren bis hin zu realen Anwendungen wie Populationsentwicklung oder Rezeptberechnungen. Hier lernst du die wichtigsten Matrizenarten und wie du sie in verschiedenen Situationen anwendest.
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Die Matrizenmultiplikation funktioniert nur, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist. Das ist wie ein Puzzle - die Teile müssen zusammenpassen!
Eine stochastische Matrix ist quadratisch und hat eine besondere Eigenschaft: Jede Spaltensumme beträgt genau 1. Alle Einträge sind zwischen 0 und 1 - das macht Sinn, weil sie Wahrscheinlichkeiten darstellen.
Der Fixvektor (auch Grenzverteilung) ist das Herzstück stochastischer Matrizen. Er zeigt dir den langfristigen Zustand eines Systems. Um ihn zu finden, löst du die Gleichung P·g = g zusammen mit der Bedingung, dass alle Komponenten sich zu 1 addieren.
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Die Einheitsmatrix ist wie die Zahl 1 bei der normalen Multiplikation - sie verändert andere Matrizen nicht. Sie ist quadratisch mit Einsen auf der Hauptdiagonale und Nullen überall sonst.
Bei der inversen Matrix A⁻¹ gilt: A·A⁻¹ = E (Einheitsmatrix). Nicht jede Matrix hat eine Inverse, aber wenn sie eine hat, ist sie sehr nützlich zum Lösen von Gleichungssystemen.
Populationsentwicklung funktioniert anders als stochastische Matrizen. Hier beschreibst du, wie sich Tierpopulationen von einer Lebensphase zur nächsten entwickeln - mit Geburten- und Sterberaten.
Wichtig: Populationsmatrizen sind KEINE stochastischen Matrizen, weil durch Fortpflanzung die Spaltensumme nicht 1 ist!
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Bedarfsmatrizen helfen dir bei alltäglichen Planungsproblemen - wie beim Backen! Du erstellst eine Matrix, die zeigt, wie viel von jeder Zutat du für verschiedene Kuchen brauchst.
Der Trick ist die richtige Anordnung: Zutaten in den Zeilen, Kuchenarten in den Spalten. Wenn du dann mit einem Vektor multiplizierst, der angibt, wie viele Kuchen du backen willst, erhältst du automatisch deinen Gesamtbedarf.
Bei komplexeren Problemen verwendest du mehrstufige Bedarfsmatrizen. Manche Zutaten müssen erst weiterverarbeitet werden (wie Karamell aus Zucker), bevor sie in das Endprodukt kommen.
Praxistipp: Bedarfsmatrizen sind überall - von Küchenplanung bis zur Industrieproduktion. Das Prinzip bleibt gleich!
Unser KI-Begleiter ist ein speziell für Schüler entwickeltes KI-Tool, das mehr als nur Antworten bietet. Basierend auf Millionen von Knowunity-Inhalten liefert er relevante Informationen, personalisierte Lernpläne, Quizze und Inhalte direkt im Chat und passt sich deinem individuellen Lernweg an.
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Entdecken Sie die Grundlagen stochastischer Matrizen, deren Eigenschaften und den Aufbau. Lernen Sie, wie man Matrizen multipliziert und die Stabilität von Wahrscheinlichkeiten über Zeit analysiert. Diese Zusammenfassung bietet einen klaren Überblick über wichtige Konzepte wie Grenzmatrix und Prozessdiagramme. Ideal für Studierende der Mathematik und Statistik.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der linearen Algebra mit einem Fokus auf Matrizen und Vektoren. Diese Zusammenfassung behandelt die verschiedenen Arten von Matrizen, deren Eigenschaften und Anwendungen, sowie das Leontief-Modell zur Analyse von Produktionsverflechtungen. Ideal für Studierende, die sich auf lineare Gleichungssysteme und multivariate Kalküle vorbereiten möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Matrizenrechnung, einschließlich Matrixaddition, -subtraktion, -multiplikation und Vektoreigenschaften. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der wichtigsten Konzepte, die für Ihre Klausurvorbereitung unerlässlich sind. Ideal für Studierende im Grundkurs Mathematik.
MatheErfahre alles über Matrizen in der linearen Algebra: Definitionen, Addition, Multiplikation, Inverse Matrizen, das Gauss-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS) und das Konzept des Fixvektors. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.
MatheEntdecken Sie die Grundlagen der Matrizen, einschließlich Skalarmultiplikation, Addition und Multiplikation von Matrizen und Vektoren. Dieser Lernzettel behandelt verschiedene Matrizenarten, stochastische Matrizen und deren Anwendungen in Prozessen. Ideal für Studierende der Mathematik und verwandter Fächer.
MatheEntdecken Sie die Konzepte der Eigenwerte, Eigenvektoren und Inversen Matrizen in der linearen Algebra. Diese Zusammenfassung behandelt die Lösung linearer Gleichungssysteme, die Bedeutung der Determinante und die Anwendung von Übergangsmatrizen. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der linearen Algebra vertiefen möchten.
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
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