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Emely
5.12.2025
Mathe
Matrizen
1.947
•
5. Dez. 2025
•
Emely
@erdbeereemely
Matrizen sind Zahlentabellen, die dir in der Mathematik und im... Mehr anzeigen
Stell dir eine Matrix einfach als rechteckige Zahlentabelle vor - das war's! Eine m×n-Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Wenn beide Zahlen gleich sind , nennst du sie quadratisch.
Die Position jeder Zahl gibst du mit zwei Indizes an: a_ij bedeutet Zeile i, Spalte j. Das ist wie ein Koordinatensystem für deine Zahlen.
Matrizenaddition funktioniert super einfach: Du addierst einfach die Zahlen an gleicher Stelle. Wichtig: Beide Matrizen müssen dieselbe Größe haben! Bei der skalaren Multiplikation multiplizierst du jede Zahl in der Matrix mit derselben Zahl.
Die Matrizenmultiplikation ist etwas trickreicher. Du kannst A·B nur rechnen, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Anders als bei normalen Zahlen gilt hier: A·B ≠ B·A!
Merktipp: Bei der Matrizenmultiplikation "verschwindet" die mittlere Dimension: (m×n)·(n×k) = (m×k)
Die Matrix-Vektor-Multiplikation begegnet dir überall in der Praxis - von Kostenfunktionen bis zu Koordinatentransformationen. Wichtig ist wieder: Die Spaltenanzahl der Matrix muss zur Zeilenanzahl des Vektors passen.
Matrizenpotenzen wie A² oder A³ funktionieren nur bei quadratischen Matrizen. Du multiplizierst die Matrix einfach mit sich selbst - das ist besonders nützlich für wiederholte Prozesse.
Die Einheitsmatrix E ist dein bester Freund: Sie hat auf der Hauptdiagonalen Einsen und sonst überall Nullen. Das Geniale: E·A = A und E·x⃗ = x⃗. Sie verhält sich wie die Zahl 1 bei der normalen Multiplikation.
Praxistipp: Die Einheitsmatrix erkennst du sofort - sie sieht aus wie ein "Kreuz" aus Einsen auf schwarzem Grund!
Die inverse Matrix A⁻¹ ist wie der Kehrwert einer Zahl: A·A⁻¹ = E. Nicht jede Matrix hat eine Inverse - das hängt von der Determinante ab.
Mit inversen Matrizen löst du lineare Gleichungssysteme elegant: Aus A·x⃗ = b⃗ wird x⃗ = A⁻¹·b⃗. Das ist viel effizienter als das Eliminationsverfahren, besonders bei größeren Systemen.
Die Determinante verrät dir, ob eine inverse Matrix existiert. Bei 2×2-Matrizen rechnest du: det(A) = a·d - b·c. Bei 3×3-Matrizen nutzt du die Regel von Sarrus. Ist det(A) ≠ 0, dann existiert A⁻¹.
Wichtig: Determinante = 0 bedeutet keine inverse Matrix und damit auch keine eindeutige Lösung deines Gleichungssystems!
Übergangsprozesse beschreiben, wie sich Zustände über Zeit verändern - perfekt für Marktanalysen oder Populationsstudien. Die Übergangsmatrix zeigt dir die Wahrscheinlichkeiten für jeden Wechsel.
Jede Zeile der Übergangsmatrix muss sich zu 1 (oder 100%) addieren - logisch, denn jeder muss irgendwo landen! Die Spalten zeigen, woher die "Neuzugänge" kommen.
Für Vorhersagen multiplizierst du einfach: x⃗₁ = A·x⃗₀ für den nächsten Zeitschritt. Für mehrere Schritte nutzt du Matrizenpotenzen: x⃗ₙ = Aⁿ·x⃗₀.
Mit einem Übergangsgraphen visualisierst du die Prozesse super anschaulich. Jeder Knoten ist ein Zustand, jeder Pfeil eine Übergangswahrscheinlichkeit.
Praxistipp: Bei Übergangsprozessen checkst du immer: Ergeben die Zeilen 100%? Sonst stimmt was nicht!
Das Grenzverhalten zeigt dir, wohin sich dein System langfristig entwickelt. Nach vielen Schritten stabilisieren sich oft die Verteilungen - das ist der stationäre Zustand.
Eigenwerte und Eigenvektoren sind die Schlüssel zum Verständnis langfristiger Entwicklungen. Ein Eigenvektor x⃗ erfüllt: A·x⃗ = λ·x⃗, wobei λ (Lambda) der Eigenwert ist.
Der Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1 ist besonders interessant - er zeigt dir die Grenzverteilung deines Übergangsprozesses. Hier ändert sich nichts mehr: A·x⃗ = 1·x⃗ = x⃗.
Durchblick: Eigenwerte größer als 1 bedeuten Wachstum, kleiner als 1 bedeutet Schrumpfung, gleich 1 bedeutet Gleichgewicht!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
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Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
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Emely
@erdbeereemely
Matrizen sind Zahlentabellen, die dir in der Mathematik und im Alltag ständig begegnen - von Wirtschaftsprognosen bis hin zu Computergrafiken. Hier lernst du, wie du mit diesen mächtigen mathematischen Werkzeugen rechnest und echte Probleme löst.
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Stell dir eine Matrix einfach als rechteckige Zahlentabelle vor - das war's! Eine m×n-Matrix hat m Zeilen und n Spalten. Wenn beide Zahlen gleich sind , nennst du sie quadratisch.
Die Position jeder Zahl gibst du mit zwei Indizes an: a_ij bedeutet Zeile i, Spalte j. Das ist wie ein Koordinatensystem für deine Zahlen.
Matrizenaddition funktioniert super einfach: Du addierst einfach die Zahlen an gleicher Stelle. Wichtig: Beide Matrizen müssen dieselbe Größe haben! Bei der skalaren Multiplikation multiplizierst du jede Zahl in der Matrix mit derselben Zahl.
Die Matrizenmultiplikation ist etwas trickreicher. Du kannst A·B nur rechnen, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Anders als bei normalen Zahlen gilt hier: A·B ≠ B·A!
Merktipp: Bei der Matrizenmultiplikation "verschwindet" die mittlere Dimension: (m×n)·(n×k) = (m×k)
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Die Matrix-Vektor-Multiplikation begegnet dir überall in der Praxis - von Kostenfunktionen bis zu Koordinatentransformationen. Wichtig ist wieder: Die Spaltenanzahl der Matrix muss zur Zeilenanzahl des Vektors passen.
Matrizenpotenzen wie A² oder A³ funktionieren nur bei quadratischen Matrizen. Du multiplizierst die Matrix einfach mit sich selbst - das ist besonders nützlich für wiederholte Prozesse.
Die Einheitsmatrix E ist dein bester Freund: Sie hat auf der Hauptdiagonalen Einsen und sonst überall Nullen. Das Geniale: E·A = A und E·x⃗ = x⃗. Sie verhält sich wie die Zahl 1 bei der normalen Multiplikation.
Praxistipp: Die Einheitsmatrix erkennst du sofort - sie sieht aus wie ein "Kreuz" aus Einsen auf schwarzem Grund!
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Die inverse Matrix A⁻¹ ist wie der Kehrwert einer Zahl: A·A⁻¹ = E. Nicht jede Matrix hat eine Inverse - das hängt von der Determinante ab.
Mit inversen Matrizen löst du lineare Gleichungssysteme elegant: Aus A·x⃗ = b⃗ wird x⃗ = A⁻¹·b⃗. Das ist viel effizienter als das Eliminationsverfahren, besonders bei größeren Systemen.
Die Determinante verrät dir, ob eine inverse Matrix existiert. Bei 2×2-Matrizen rechnest du: det(A) = a·d - b·c. Bei 3×3-Matrizen nutzt du die Regel von Sarrus. Ist det(A) ≠ 0, dann existiert A⁻¹.
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Jede Zeile der Übergangsmatrix muss sich zu 1 (oder 100%) addieren - logisch, denn jeder muss irgendwo landen! Die Spalten zeigen, woher die "Neuzugänge" kommen.
Für Vorhersagen multiplizierst du einfach: x⃗₁ = A·x⃗₀ für den nächsten Zeitschritt. Für mehrere Schritte nutzt du Matrizenpotenzen: x⃗ₙ = Aⁿ·x⃗₀.
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Eigenwerte und Eigenvektoren sind die Schlüssel zum Verständnis langfristiger Entwicklungen. Ein Eigenvektor x⃗ erfüllt: A·x⃗ = λ·x⃗, wobei λ (Lambda) der Eigenwert ist.
Der Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1 ist besonders interessant - er zeigt dir die Grenzverteilung deines Übergangsprozesses. Hier ändert sich nichts mehr: A·x⃗ = 1·x⃗ = x⃗.
Durchblick: Eigenwerte größer als 1 bedeuten Wachstum, kleiner als 1 bedeutet Schrumpfung, gleich 1 bedeutet Gleichgewicht!
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MatheEntdecke die Grundlagen der Matrixoperationen, einschließlich Matrix-Vektor-Multiplikation, Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation. Diese Zusammenfassung bietet klare Beispiele und erklärt die Dimensionen der Matrizen sowie die Regeln für die Multiplikation. Ideal für Studierende der Mathematik und Ingenieurwissenschaften.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Anna
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Jana V
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Julia S
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